Gewöhnliche Differentialgleichung/Rational-homogen/1/Aufgabe/Lösung

Mit dem Ansatz

${\displaystyle {}y=z\cdot t\,}$

wird die rechte Seite der Differentialgleichung zu

${\displaystyle {}{\frac {4y+5t}{2y-3t}}={\frac {4zt+5t}{2zt-3t}}={\frac {4z+5}{2z-3}}\,}$

und die linke Seite zu

${\displaystyle {}y'=(z\cdot t)'=z+tz'\,.}$

Die Bedingung wird zu

${\displaystyle {}z+tz'={\frac {4z+5}{2z-3}}\,}$

bzw. zu

${\displaystyle {}tz'={\frac {4z+5}{2z-3}}-z={\frac {4z+5-z(2z-3)}{2z-3}}={\frac {-2z^{2}+7z+5}{2z-3}}\,}$

bzw. zur Differentialgleichung mit getrennten Variablen

${\displaystyle {}z'={\frac {1}{t}}\cdot {\frac {-2z^{2}+7z+5}{2z-3}}\,.}$