Glatte Ebene Kurve/Syzygienbündel/Gradberechnung/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}f\in K[X,Y,Z]}$ ein homogenes Polynom vom Grad ${\displaystyle {}e}$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${\displaystyle {}K}$ derart, dass

${\displaystyle {}C=\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y,Z]/(f)\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,}$

eine glatte projektive Kurve ist. Es seien

${\displaystyle {}g_{1},\ldots ,g_{n}\in K[X,Y,Z]\,}$

homogene Elemente vom Grad ${\displaystyle {}d_{1},\ldots ,d_{n}}$ derart, dass die ${\displaystyle {}D_{+}(g_{i})}$ die Kurve überdecken. Wir fassen die ${\displaystyle {}g_{i}}$ als Garbenhomomorphismen ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{C}(-d_{i})\longrightarrow {\mathcal {O}}_{C}}$, ${\displaystyle {}h\longmapsto hg_{i}}$, (bzw. ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{C}(m-d_{i})\longrightarrow {\mathcal {O}}_{C}(m)}$, ${\displaystyle {}h\longmapsto hg_{i}}$, für ${\displaystyle {}m\in \mathbb {Z} }$) auf.

1. Zeige, dass der Garbenhomomorphismus

   ${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}_{C}(m-d_{i})\longrightarrow {\mathcal {O}}_{C}(m)}$

   surjektiv ist.

2. Es sei ${\displaystyle {}\operatorname {Syz} {\left(g_{1},\ldots ,g_{n}\right)}(m)}$ die Kerngarbe zum Homomorphismus aus (1). Zeige, dass diese Garbe lokal frei ist.
3. Bestimme den Rang von ${\displaystyle {}\operatorname {Syz} {\left(g_{1},\ldots ,g_{n}\right)}(m)}$.
4. Bestimme den Grad von ${\displaystyle {}\operatorname {Syz} {\left(g_{1},\ldots ,g_{n}\right)}(m)}$.