Gradientenfeld/x^2+2y^2/Lösungskurven/Aufgabe

Es sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+2y^{2}.}$

a) Bestimme das zugehörige Gradientenfeld ${\displaystyle {}\operatorname {Grad} \,f}$.

b) Beschreibe die Lösungskurven zur zugehörigen Differentialgleichung

${\displaystyle {}v'=\operatorname {Grad} \,f(v)\,}$

zu einer Anfangsbedingung

${\displaystyle {}v(0)={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\,.}$

c) Bestimme in Abhängigkeit von ${\displaystyle {}(a,b)}$ den Ort, wo sich die Lösung zum Zeitpunkt ${\displaystyle {}t=1}$ befindet.

d) Wir beschränken uns nun auf Anfangsbedingungen

${\displaystyle {}v(0)={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\,}$

mit

${\displaystyle {}f(a,b)=1\,.}$

Für welchen dieser Anfangspunkte ist der Wert von ${\displaystyle {}f}$ am Ortspunkt der Lösung zum Zeitpunkt ${\displaystyle {}t=1}$ extremal?