Gradientenfeld/x^2+2y^2/Lösungskurven/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${\displaystyle {}\operatorname {Grad} \,f(x,y)={\begin{pmatrix}2x\\4y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&0\\0&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.}$

b) Da es sich um ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten handelt, und da das Vektorfeld in diagonalisierter Form vorliegt, sind ${\displaystyle {}e^{2t}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}e^{4t}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$ die Basislösungen. Die allgemeine Lösung ist

${\displaystyle {}v(t)=ae^{2t}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+be^{4t}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,.}$

Diese befindet sich zum Zeitpunkt ${\displaystyle {}t=0}$ an der Stelle ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}}$.

c) Zum Zeitpunkt ${\displaystyle {}t=1}$ befindet sich die Lösungskurve ${\displaystyle {}v(t)}$ an der Stelle

${\displaystyle {}v(1)=ae^{2}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+be^{4}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ae^{2}\\be^{4}\end{pmatrix}}\,.}$

d) Der Wert von ${\displaystyle {}f}$ an der Stelle ${\displaystyle {}v(1)}$ ist

${\displaystyle {}f{\begin{pmatrix}ae^{2}\\be^{4}\end{pmatrix}}=a^{2}e^{4}+2b^{2}e^{8}=h(a,b)\,.}$

Es geht also um die Extrema dieser Funktion ${\displaystyle {}h(a,b)}$ unter der Nebenbedingung ${\displaystyle {}f=1}$. Es ist

${\displaystyle {}\operatorname {Grad} \,h={\begin{pmatrix}2ae^{4}\\4be^{8}\end{pmatrix}}\,.}$

Der Ansatz

${\displaystyle {}\lambda {\begin{pmatrix}2a\\4b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2ae^{4}\\4be^{8}\end{pmatrix}}\,}$

führt bei ${\displaystyle {}a\neq 0}$ auf

${\displaystyle {}\lambda =e^{4}\,}$

und auf

${\displaystyle {}b=0\,}$

und bei ${\displaystyle {}b\neq 0}$ auf

${\displaystyle {}\lambda =e^{8}\,}$

und auf

${\displaystyle {}a=0\,.}$

Mögliche Extrema liegen also in ${\displaystyle {}P_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$ und in ${\displaystyle {}P_{2}={\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}}$ vor. Die Werte sind ${\displaystyle {}h(P_{1})=e^{4}}$ und ${\displaystyle {}h(P_{2})=2{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}^{2}e^{8}=e^{8}}$. Daher liegt, da die durch ${\displaystyle {}f=1}$

${\displaystyle {}h}$

${\displaystyle {}P_{1}}$

${\displaystyle {}P_{2}}$