Hauptsatz der Infinitesimalrechnung/Riemann/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei ${\displaystyle {}x}$ fixiert. Der Differenzenquotient ist

${\displaystyle {}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\frac {1}{h}}{\left(\int _{a}^{x+h}f(t)\,dt-\int _{a}^{x}f(t)\,dt\right)}={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(t)\,dt\,.}$

Wir müssen zeigen, dass für ${\displaystyle {}h\rightarrow 0}$ der Limes existiert und gleich ${\displaystyle {}f(x)}$ ist. Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gibt es zu jedem ${\displaystyle {}h}$ ein ${\displaystyle {}c_{h}\in [x,x+h]}$ mit

${\displaystyle {}f(c_{h})\cdot h=\int _{x}^{x+h}f(t)dt\,}$

und damit ist

${\displaystyle {}f(c_{h})={\frac {\int _{x}^{x+h}f(t)dt}{h}}\,.}$

${\displaystyle {}h\rightarrow 0}$

${\displaystyle {}c_{h}}$

${\displaystyle {}x}$

${\displaystyle {}f}$

${\displaystyle {}f(c_{h})}$

${\displaystyle {}f(x)}$