Hausdorff-Raum

Sei ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X})}$ ein topologischer Raum mit ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq \wp (X)}$ als System von offenen Mengen. ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X})}$ heißt Hausdorff-Raum bzw. ${\displaystyle T_{2}}$-Raum, wenn es für zwei beliebige Punkte ${\displaystyle x,y\in X}$ mit ${\displaystyle x<\not =y}$ offene Mengen ${\displaystyle U,V\in {\mathcal {T}}_{X}}$ gibt, mit:

${\displaystyle x\in U\,\wedge \,y\in V\,\wedge \,U\cap V=\emptyset }$

• Definieren Sie unterschiedliche Topologie auf der Menge der stetigen Funktionen ${\displaystyle {\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )}$ von dem Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$, die die Hausdorff-Trennungseigenschaften besitzen.
• Sei ${\displaystyle {\mathcal {I}}([a,b],\mathbb {R} )}$ die Menge der integrablen Funktion von dem Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mit Halbnorm

${\displaystyle \|f\|_{1}:=\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx.}$

Zeigen Sie, dass ${\displaystyle {\mathcal {I}}([a,b],\mathbb {R} )}$ mit der durch ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ definierten Halbnorm, die Hausdorff-Trennungseigenschaften nicht besitzt.

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