Hausdorffraum/Diagonale ist abgeschlossen/Aufgabe/Lösung

Wir müssen zeigen, dass das Komplement

${\displaystyle {}W=X\times X\setminus \triangle ={\left\{(x,y)\mid x,y\in X,\,x\neq y\right\}}\,}$

offen ist. Es sei also ${\displaystyle {}(x,y)}$ ein Paar mit ${\displaystyle {}x\neq y}$. Aufgrund der vorausgesetzten Hausdorff-Eigenschaft gibt es disjunkte offene Mengen ${\displaystyle {}U,V\subseteq X}$ mit ${\displaystyle {}x\in U}$ und ${\displaystyle {}y\in V}$. Es ist ${\displaystyle {}(x,y)\in U\times V}$ und nach Definition der Produkttopologie ist ${\displaystyle {}U\times V}$ eine offene Menge in ${\displaystyle {}X\times X}$. Wegen der Disjunktheit folgt aus ${\displaystyle {}(z,w)\in U\times V}$ sofort ${\displaystyle {}z\neq w}$. Also ist

${\displaystyle {}(x,y)\in U\times V\subseteq W\,}$

${\displaystyle {}W}$