Hilbertraum/Stetig lineare Abbildung/Gradient/Fakt/Beweis

Bei der Nullabbildung ist ${\displaystyle {}x=0}$ zu nehmen, sei also ${\displaystyle {}\varphi }$ nicht die Nullabbildung. Es sei ${\displaystyle {}z\in V}$ mit ${\displaystyle {}\varphi (z)\neq 0}$ und sei ${\displaystyle {}U=\operatorname {kern} \varphi }$. Durch Multiplikation mit einem Skalar können wir davon ausgehen, dass ${\displaystyle {}\varphi (z)}$ eine positive reelle Zahl ist. Wegen der Stetigkeit und der Linearität ist ${\displaystyle {}U}$ ein abgeschlossener Untervektorraum von ${\displaystyle {}V}$. Das orthogonale Komplement ${\displaystyle {}U^{\perp }}$ ist eindimensional: Zu ${\displaystyle {}w,w'\in U^{\perp }}$ gibt es ${\displaystyle {}a\in {\mathbb {K} }}$ mit ${\displaystyle {}\varphi (w')=a\varphi (w)}$, daher ist ${\displaystyle {}w'-aw\in U}$ und wegen der Orthogonalität ist ${\displaystyle {}w'-aw=0}$. Wir schreiben

${\displaystyle {}z=p_{U}(z)+y\,}$

mit ${\displaystyle {}p_{U}(z)\in U}$ und ${\displaystyle {}y\in U^{\perp }}$ im Sinne von Fakt. Es ist ${\displaystyle {}\varphi (z)=\varphi (y)}$. Wir setzen

${\displaystyle {}x:={\frac {\varphi (y)}{\Vert {y}\Vert ^{2}}}y\,,}$

dies sichert

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\left\langle x,x\right\rangle &=\left\langle {\frac {\varphi (y)}{\Vert {y}\Vert ^{2}}}y,{\frac {\varphi (y)}{\Vert {y}\Vert ^{2}}}y\right\rangle \\&={\frac {\varphi (y)^{2}}{\Vert {y}\Vert ^{4}}}\left\langle y,y\right\rangle \\&={\frac {\varphi (y)}{\Vert {y}\Vert ^{2}}}\varphi (y)\\&=\varphi (x).\end{aligned}}}$

Für ${\displaystyle {}v\in V}$ mit der kanonischen Zerlegung

${\displaystyle {}v=u+w\,}$

ist dann

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\left\langle v,x\right\rangle &=\left\langle u+w,x\right\rangle \\&=\left\langle w,x\right\rangle \\&=\left\langle ax,x\right\rangle \\&=a\left\langle x,x\right\rangle \\&=a\varphi (x)\\&=\varphi (w)\\&=\varphi (u+w)\\&=\varphi (v).\end{aligned}}}$