Holomorphe Funktion/Nichtausgeartet/Morse-Lemma/Fakt/Beweis2

Wir schreiben ${\displaystyle {}f}$ in den lokalen Koordinaten ${\displaystyle {}z_{1},\ldots ,z_{n}}$ als Potenzreihe

${\displaystyle {}f=\sum _{\nu :\,\vert {\nu }\vert \geq 2}z^{\nu }=\sum _{1\leq i,j\leq n}h_{ij}z_{i}z_{j}\,}$

mit holomorphen Funktionen ${\displaystyle {}h_{ij}}$ mit ${\displaystyle {}h_{ij}=h_{ji}}$. Die Matrix ${\displaystyle {}(h_{ij})}$ ist also symmetrisch und im Nullpunkt nichtausgeartet. Daher gibt es auch eine offene Umgebung des Nullpunktes, wo sie nicht ausgeartet ist. Für jede Matrix ${\displaystyle {}(h_{ij}(P))}$ kann man zur Einheitsmatrix diagonalisieren.

Das Orthogonalisierungssverfahren liefert Linearformen ${\displaystyle {}w_{j}}$ mit

${\displaystyle {}w_{j}(P)=\sum _{i}g_{ij}(P)z_{i}\,}$

mit

${\displaystyle {}f(P)=\sum _{1\leq i,j\leq n}h_{ij}(P)z_{i}z_{j}=\sum _{j}{\left(w_{j}(P)\right)}^{2}\,.}$

Die explizite Beschreibung des Orthogonalisierungsverfahren sichert, dass die Abhängigkeit der Funktionen ${\displaystyle {}g_{ij}}$ von ${\displaystyle {}P}$ holomorph ist. Daher kann man die ${\displaystyle {}w_{j}}$ als holomorphe Koordinaten nehmen.