Holomorphie/Kriterien

Holomorphie einer Funktion ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ in einem Punkt ${\displaystyle z_{0}\in U}$ ist eine Umgebungseigenschaft von ${\displaystyle z_{0}}$. Dazu gibt es in der komplexen Analysis zahlreiche Kriterien, mit denen man die Holomorphie überprüfen kann. Im Folgenden sei ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$ ein Gebiet als Teilmenge der komplexen Ebene und ${\displaystyle z_{0}\in U}$ ein Punkt dieser Teilmenge.

Die Animation zeigt für die Funktion ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}}$. Für die Animation werden ${\displaystyle z}$ in blauer Farbe und der zugehörige Bildpunkt ${\displaystyle f(z)}$ in roter Farbe dargestellt. Der Punkt ${\displaystyle z}$ und ${\displaystyle f(z)}$ werden dabei in ${\displaystyle \mathbb {C} {\widetilde {=}}\mathbb {R} ^{2}}$ dargestellt. Die ${\displaystyle y}$-Achse repräsentiert den Imaginärteil einer komplexen Zahl ${\displaystyle z}$ bzw. ${\displaystyle f(z)}$. Der blaue Punkt ${\displaystyle z}$ bewegt sich auf dem Weg ${\displaystyle \gamma (t):=t\cdot (cos(t)+i\cdot \sin(t))}$

Eine Funktion ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ heißt komplex differenzierbar im Punkt ${\displaystyle z_{0}}$, falls der Grenzwert

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}}$

mit ${\displaystyle h\in \mathbb {C} }$ existiert. Man bezeichnet ihn dann als ${\displaystyle f'(z_{0})}$.

Die Funktion ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ heißt holomorph im Punkt ${\displaystyle z_{0}}$, falls eine Umgebung ${\displaystyle U_{0}\subseteq U}$ von ${\displaystyle z_{0}}$ existiert, in der ${\displaystyle f}$ komplex differenzierbar ist. Ist ${\displaystyle f}$ auf ganz ${\displaystyle U}$ holomorph, so nennt man ${\displaystyle f}$ holomorph. Ist weiter ${\displaystyle U=\mathbb {C} }$, so nennt man ${\displaystyle f}$ eine ganze Funktion.

Sei ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ eine Funktion ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$ Gebiet, dann sind folgende Eigenschaften der komplexwertigen Funktionen ${\displaystyle f}$ äquivalent:

Die Funktion ${\displaystyle f}$ ist einmal komplex differenzierbar auf ${\displaystyle U}$.

Die Funktion ${\displaystyle f}$ ist beliebig oft komplex differenzierbar auf ${\displaystyle U}$.

Real- und Imaginärteil erfüllen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und sind zumindest einmal stetig reell-differenzierbar auf ${\displaystyle U}$.

Die Funktion lässt sich lokal auf ${\displaystyle U}$ in eine komplexe Potenzreihe entwickeln.

Die Funktion ${\displaystyle f}$ ist stetig und das Wegintegral der Funktion über einen beliebigen geschlossenen zusammenziehbaren Weg verschwindet (d.h. Umlaufzahl des Wegintegrals für alle Punkte aus dem Komplement von ${\displaystyle U}$ ist 0).

Die Funktionswerte im Inneren einer Kreisscheibe lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der cauchyschen Integralformel ermitteln.

${\displaystyle f}$ ist reell differenzierbar und es gilt
${\displaystyle \quad {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0,}$
wobei ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}}$ der Cauchy-Riemann-Operator ist, der durch ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}:={\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {\partial }{\partial x}}+i{\tfrac {\partial }{\partial y}}\right)}$ definiert ist.

• Seinen ${\displaystyle a,z_{o}\in \mathbb {C} }$ beliebig gewählt, es gelte ${\displaystyle a\neq z_{o}}$. Entwickeln Sie nun den Funktion ${\displaystyle f(z):={\frac {1}{z-a}}}$ für ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{a\}}$ in eine Potenzreihe um ${\displaystyle z_{o}\in \mathbb {C} }$ und zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt:

$${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z-a}}=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }-{\frac {1}{(a-z_{o})^{n+1}}}\cdot (z-z_{o})^{n}}$$

• Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe! Erläutern Sie, warum der Konvergenzradius in der berechneten Weise von ${\displaystyle a,z_{o}\in \mathbb {C} }$ abhängt und nicht größer sein kann!
• Dass aus der einmaligen Differenzierbarkeit der holomorphen Funktion ${\displaystyle f}$ auch folgt, dass ${\displaystyle f}$ unendlich oft differenzierbar ist, gilt in der reellen Analysis nicht. Betrachten Sie die auf ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$ definierte Funktion ${\displaystyle g(x):=x\cdot |x|}$.
• Erläutern Sie, mit welchen zentralen Satz der Funktionaltheorie aus dem Kriterium 1 das Kriterium 2 folgt!

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