Kurs:Funktionentheorie/Quiz

In Wikiversity kann man ein Quiz zu eigenen Überprüfung der Lerninhalte erstellen. Die Möglichkeiten für die Erstellung einer Überprüfungen der Lerninhalte durch ein Quiz wird in der Wikiversity Hilfe-Seite "Quiz" erläutert.

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1

Berechnen Sie das Integral ${\displaystyle \int _{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{\gamma (t)}}\cdot \gamma {\,}'(t)\,dt}$ mit ${\displaystyle \gamma (t):=e^{i\cdot t}}$ als Integrationsweg? Geben Sie den Realteil und Imaginärteil bis auf zwei Stellen nach dem Dezimalpunkt an (also z.B. 4.21 für Realteil und Imaginärteil getrennt)

Antwort: ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle i}$

2

Gegen Sie das Residuum ${\displaystyle res_{z_{0}}(f)}$ der Funktion ${\displaystyle f(z)={\frac {3x+6+i\cdot 5x}{x^{2}+2x}}}$ in dem Punkt ${\displaystyle z_{0}=0}$ an. (Fehlertoleranz 5% bei Real- und Imaginärteil)

Antwort: ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle i}$

3

Gegen Sie das Residuum ${\displaystyle res_{z_{0}}(f)}$ der Funktion ${\displaystyle f(z)={\frac {3x+6+i\cdot 5x}{x^{2}+2x}}}$ in dem Punkt ${\displaystyle z_{0}=i}$ an. Geben Sie die Werte mit Dezimalpunkt (z.B. 4.21) für Realteil und Imaginärteil getrennt ein (Fehlertoleranz 5% bei Real- und Imaginärteil)

Antwort: ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle i}$

4

Gegen Sie das Residuum ${\displaystyle res_{z_{0}}(f)}$ der Funktion ${\displaystyle f(z)={\frac {3x+6+i\cdot 5x}{x^{2}+2x}}}$ in dem Punkt ${\displaystyle z_{0}=3+5i}$ an. Geben Sie die Werte mit Dezimalpunkt (z.B. 4.21) für Realteil und Imaginärteil getrennt ein (Fehlertoleranz 5% bei Real- und Imaginärteil)

Antwort: ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle i}$

5

Gegen Sie das Residuum ${\displaystyle res_{z_{0}}(f)}$ der Funktion ${\displaystyle f(z)={\frac {3x+6+i\cdot 5x}{x^{2}+2x}}}$ in dem Punkt ${\displaystyle z_{0}=-2}$ an. Geben Sie die Werte mit Dezimalpunkt (z.B. 4.21) für Realteil und Imaginärteil getrennt ein (Fehlertoleranz 5% bei Real- und Imaginärteil)

Antwort: ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle i}$

6

Welche der folgenden Eigenschaften sind Holomorphiekriterien für eine Funktion ${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} }$?

	${\displaystyle f}$ lässt sich lokal für jedes ${\displaystyle z_{o}\in G}$ in eine Potenzreihe entwickeln.
	für <matht>f</math> existieren die partiellen Ableitungen für den Realteil und Imaginärteil existieren
	Die Funktion ist einem Punkt ${\displaystyle z_{o}}$ komplex differenzierbar.
	Die Funktion ist jedem Punkt ${\displaystyle z\in G}$ komplex differenzierbar.
	Die Funktion ist ist jedem Punkt ${\displaystyle z\in G}$ beliebig oft komplex differenzierbar.
	Real- und Imaginärteil erfüllen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und sind zumindest einmal stetig reell-differenzierbar.
	Die Funktion lässt sich in eine komplexe Potenzreihe entwickeln.
	Die Funktion ist stetig und das Wegintegral der Funktion über einen beliebigen geschlossenen zusammenziehbaren Weg verschwindet.
	Die Funktionswerte im Inneren einer Kreisscheibe lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der cauchyschen Integralformel ermitteln.
	f ist reell differenzierbar und es gilt ${\displaystyle \quad {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0,}$ wobei ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}}$ der Cauchy-Riemann-Operator ist, der durch ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}:={\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {\partial }{\partial x}}+i{\tfrac {\partial }{\partial y}}\right)}$ definiert ist.
	die Realteilfunktion ${\displaystyle f_{1}}$ und die Imaginärteilfunktion ${\displaystyle f_{2}}$ mit ${\displaystyle f=f_{1}+f_{2}}$ sind reell integrierbar.

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