Homomorphismenraum/Auswertung/Bilinear/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst ${\displaystyle {}v\in V}$ fixiert. Für ${\displaystyle {}\varphi _{1},\varphi _{2}\in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}}$ ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(\varphi _{1}+\varphi _{2}\right)}(v)&=\varphi _{1}(v)+\varphi _{2}(v)\\\end{aligned}}}$

und für ${\displaystyle {}s\in K}$ ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(s\varphi \right)}(v)&=s\varphi (v)\\\end{aligned}}}$

aufgrund der Definition der Vektorraumstruktur auf dem Homomorphismenraum. Es sei nun ${\displaystyle {}\varphi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}}$ fixiert und ${\displaystyle {}v_{1},v_{2}\in V}$. Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi (v_{1}+v_{2})&=\varphi (v_{1})+\varphi (v_{2})\\\end{aligned}}}$

und

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi (sv)&=s\varphi (v)\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {}\varphi }$