Idempotente Elemente/Modulo nilpotentes Element/Surjektiv/Aufgabe/Lösung

Es sei ${\displaystyle {}f\in R}$ ein Urbild von ${\displaystyle {}e}$. Da ${\displaystyle {}e}$ idempotent ist, wird ${\displaystyle {}f^{2}-f}$ auf ${\displaystyle {}0}$ abgebildet, also ist ${\displaystyle {}f^{2}-f=c\in (n)}$. Insbesondere ist ${\displaystyle {}c^{2}=0}$. Wir betrachten

${\displaystyle {}g=f+c-2cf\,,}$

das ebenfalls auf ${\displaystyle {}e}$ abgebildet wird. Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}g^{2}&={\left(f+c-2cf\right)}^{2}\\&=f^{2}+c^{2}+4c^{2}f^{2}+2cf-4cf^{2}-4c^{2}f\\&=f^{2}+2cf-4cf^{2}\\&=f+c+2cf-4c(f+c)\\&=f+c+2cf-4cf\\&=f+c-2cf\\&=g,\end{aligned}}}$

${\displaystyle {}e}$