Imaginär-quadratischer Bereich/Fall 2,3/Hauptideal/Rechtwinklig/Aufgabe/Lösung

Es sei

${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}={\left(a+b{\sqrt {D}}\right)}\subseteq {\mathbb {C} }\,.}$

Als Gruppe (bzw. als Gitter) wird dieses Ideal von

${\displaystyle {}a+b{\sqrt {D}}=a+b{\sqrt {-D}}{\mathrm {i} }={\begin{pmatrix}a\\b{\sqrt {-D}}\end{pmatrix}}\,}$

und von

${\displaystyle {}{\sqrt {D}}{\left(a+b{\sqrt {D}}\right)}=bD+a{\sqrt {D}}=bD+a{\sqrt {-D}}{\mathrm {i} }={\begin{pmatrix}bD\\a{\sqrt {-D}}\end{pmatrix}}\,}$

erzeugt. Für die beiden Erzeuger gilt mit dem reellen Standardskalarprodukt

${\displaystyle {}\left\langle {\begin{pmatrix}a\\b{\sqrt {-D}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}bD\\a{\sqrt {-D}}\end{pmatrix}}\right\rangle =abD-abD=0\,,}$