Integralformel von Cauchy

Die Cauchysche Integralformel ist neben dem Integralsatz von Cauchy eine der zentralen Aussagen der Funktionentheorie. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für nullhomologe Zyklen. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen.

Es sei ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {C} }$ eine offene Menge, ${\displaystyle D}$ eine Kreisscheibe mit ${\displaystyle {\bar {D}}\subseteq G}$ und ${\displaystyle f\colon G\to \mathbb {C} }$ holomorph. Dann gilt

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw}$

für jedes ${\displaystyle z\in D}$.

Durch leichte Vergrößerung des Radius der Kreisscheibe finden wir eine offene Kreisscheibe ${\displaystyle U}$ mit ${\displaystyle {\bar {D}}\subseteq U\subseteq G}$. Definiere ${\displaystyle g\colon U\to \mathbb {C} }$ durch

${\displaystyle g(w):=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {f(w)-f(z)}{w-z}}&w\neq z\\f'(z)&w=z\end{array}}\right.}$

Dann ist ${\displaystyle g}$ stetig auf ${\displaystyle U}$ und auf ${\displaystyle U-\{z\}}$ holomorph. Also dürfen wir den Integralsatz von Cauchy auf ${\displaystyle U}$ anwenden und erhalten

${\displaystyle 0=\int _{\partial D}g(w)\,dw=\int _{\partial D}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw-f(z)\int _{\partial D}{\frac {dw}{w-z}}}$

Für ${\displaystyle z\in D}$ setze ${\displaystyle h(z):=\int _{\partial D}{\frac {dw}{w-z}}}$. Dann ist ${\displaystyle h}$ holomorph mit

${\displaystyle h'(z)=-\int _{\partial D}{\frac {dw}{(w-z)^{2}}}}$

Da der Integrand ${\displaystyle {\frac {dw}{(w-z)^{2}}}}$ eine Stammfunktion in ${\displaystyle D}$ hat, gilt

${\displaystyle h'(z)=-\int _{\partial D}{\frac {dw}{(w-z)^{2}}}=0}$

Da ${\displaystyle h'(z)=0}$ auf ganz so ${\displaystyle D}$ gilt, muss ${\displaystyle h}$ konstant sein. Damit folgt, dass ${\displaystyle h(z)}$ stets den gleichen Wert besitzt, wie im am Mittelpunkt ${\displaystyle h(z_{0})}$ der Kreisscheibe ${\displaystyle D}$, d.h. gleich ${\displaystyle h(z_{o})=2\pi i}$ ist. Damit ist

${\displaystyle 0=\int _{\partial D}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw-f(z)\int _{\partial D}{\frac {dw}{w-z}}\iff f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw}$

Das war die Behauptung.

Es sei ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {C} }$ eine offene Menge, ${\displaystyle \Gamma }$ ein nullhomologer Zyklus in ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle f\colon G\to \mathbb {C} }$ holomorph. Dann gilt

${\displaystyle n(\Gamma ,z)\cdot f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw}$

für jedes ${\displaystyle z\in G\setminus \mathrm {Spur} (\Gamma )}$, dabei bezeichnet ${\displaystyle n(\Gamma ,\cdot )}$ die Umlaufzahl.

Definiere eine Funktion ${\displaystyle g\colon G\times G\to \mathbb {C} }$ durch

${\displaystyle g(z,w):=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {f(w)-f(z)}{w-z}}&w\neq z\\f'(z)&w=z\end{array}}\right.}$

definiert.

Wir zeigen die Stetigkeit in beiden Variablen. Ist ${\displaystyle (w_{0},z_{0})\in U\times U}$ mit ${\displaystyle z_{0}\neq w_{0}}$,n so wird ${\displaystyle g}$ in der Nähe von ${\displaystyle (w_{0},z_{0})}$ durch die obige Formel gegeben und ist trivialerweise stetig. Es sei ${\displaystyle z_{0}=w_{0}}$. Wir wählen eine ${\displaystyle \delta }$-Umgebung ${\displaystyle U_{\delta }(z_{0})\subset G}$ und untersuchen ${\displaystyle g(w,z)-g(z_{0},z_{0})}$ auf ${\displaystyle U_{\delta }(z_{0})\times U_{\delta }(z_{0})}$

Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von ${\displaystyle g}$ für ${\displaystyle w=z}$:

${\displaystyle g(z,z)-g(z_{0},z_{0})=f'(z)-f'(z_{0})}$

Da ${\displaystyle f'}$ stetig ist, konvergiert ${\displaystyle f'(z)}$ gegen ${\displaystyle f'(z_{0})}$ für ${\displaystyle z\to z_{0}}$.

b) im Fall ${\displaystyle w\neq z}$:

${\displaystyle g(w,z)-g(z_{0},z_{0})={\frac {f(w)-f(z)}{w-z}}-f'(z_{0})={\frac {1}{w-z}}\int _{[z,w]}(f'(v)-f'(z_{0}))dv}$

Nun ist - als Folge der Cauchyschen Formeln für Kreise! - die Ableitung ${\displaystyle f'}$ stetig in ${\displaystyle z_{0}}$. Zu gegebenem ${\displaystyle \epsilon >0}$ können wir also ${\displaystyle \delta >0}$ so wählen, dass

${\displaystyle |f'(v)-f'(z_{0})|<\epsilon }$

für alle ${\displaystyle v\in U_{\delta }(z_{0})}$ wird.

Damit folgt im Fall a):

${\displaystyle |g(z,z)-g(z_{0},z_{0})|<\epsilon ;}$

im Fall b)

${\displaystyle |g(w,z)-g(z_{0},z_{0})|\leq {\frac {1}{|w-z|}}|w-z|\cdot \sup \limits _{w\in [w,z]}|f'(v)-f'(z_{0})|<\epsilon .}$

Wir setzen nun

${\displaystyle h_{0}(z)=\int _{\Gamma }g(w,z)dw.}$

${\displaystyle h_{0}}$ ist eine auf ganz ${\displaystyle G}$ stetige Funktion; wir zeigen, dass sie sogar holomorph ist. Dazu verwenden wir den Satz von Morera.

Es sei also ${\displaystyle \gamma }$ der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in ${\displaystyle G}$ liegt, wir müssen

${\displaystyle \int _{\gamma }h_{0}(z)dz=0}$

nachweisen. Es ist

${\displaystyle \int _{\gamma }h_{0}(z)dz=\int _{\gamma }\int _{\Gamma }g(w,z)dw\,dz=\int _{\Gamma }\int _{\gamma }g(w,z)dz\,dw}$

da wegen der Stetigkeit des Integranden auf ${\displaystyle G\times G}$ die Integrationen vertauschbar sind. Für festes ${\displaystyle w}$ ist die Funktion ${\displaystyle g(w,z)}$ in der Variable ${\displaystyle z}$ stetig und holomorph für ${\displaystyle w\neq z}$, also überhaupt holomorph.

Nach dem Satz von Goursat folgt

${\displaystyle \int _{\gamma }g(w,z)dz=0.}$

Damit ist natürlich auch

${\displaystyle \int _{\gamma }h_{0}(z)dz=\int _{\Gamma }\int _{\gamma }g(w,z)dz\,dw=0.}$

Bisher haben wir die Voraussetzungen über ${\displaystyle \Gamma }$ noch nicht ausgenutzt. Das tun wir jetzt. Sei

${\displaystyle G_{0}=\{z\in \mathbb {C} :n(\Gamma ,z)=0\}}$.

Da auf ${\displaystyle G\cap G_{0}}$ die Funktion ${\displaystyle h_{0}}$ sich einfacher schreibt, nämlich

${\displaystyle h_{0}(z)=\int _{\Gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}dw=h_{1}(z),}$

da die Funktion ${\displaystyle h_{1}}$ aber offenbar auf ganz ${\displaystyle G_{0}}$ holomorph ist, können wir ${\displaystyle h_{0}}$ durch

${\displaystyle h(z)=\left\{{\begin{array}{ll}h_{0}(z)&z\in G\\h_{1}(z)&z\in G_{0}\end{array}}\right.}$

zu einer auf ganz ${\displaystyle G\cup G_{0}}$ erklärten holomorphen Funktion ${\displaystyle h}$ fortsetzen. Nun ist ${\displaystyle \Gamma }$ nullhomolog in ${\displaystyle G}$ und damit

${\displaystyle G\cup G_{0}=\mathbb {C} ,}$

d.h. ${\displaystyle h}$ ist eine ganze Funktion.

Für ${\displaystyle h}$ haben wir auf ${\displaystyle G_{0}}$ die Bezeichnung

${\displaystyle |h(z)|=|h_{1}(z)|\leq {\frac {1}{dist(z,\Gamma )}}L(\Gamma )\max _{\Gamma }|f|\;\;\;(*);}$

dabei ist ${\displaystyle L(\Gamma )=\sum |n_{k}|L(\gamma _{k})}$, wenn ${\displaystyle \Gamma =n_{k}\cdot \gamma _{k}}$ ist.

${\displaystyle G_{0}}$ enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um ${\displaystyle 0}$. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle ${\displaystyle z}$: es folgt, dass ${\displaystyle h}$ beschränkt, also nach dem Satz von Liouville konstant ist. Wählt man eien Folge ${\displaystyle z_{\nu }\in G_{0}}$ mit ${\displaystyle |z_{\nu }|\geq \nu }$, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*)

${\displaystyle \lim \limits _{\nu \to \infty }(z_{\nu })=0,}$

insgesamt also ${\displaystyle h\equiv 0}$, insbesondere ${\displaystyle h_{0}\equiv 0}$; das wollten wir zeigen.

Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in ${\displaystyle z}$ unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten

Es sei ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {C} }$ eine offene Menge, ${\displaystyle D}$ eine Kreisscheibe mit ${\displaystyle {\bar {D}}\subseteq G}$ und ${\displaystyle f\colon G\to \mathbb {C} }$ holomorph. Dann ist ${\displaystyle f}$ unendlich oft differenzierbar und für jedes ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gilt

${\displaystyle f^{(n)}(z)={\frac {n!}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(w)}{(w-z)^{n+1}}}\,dw}$

für jedes ${\displaystyle z\in D}$.

Es sei ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {C} }$ eine offene Menge, ${\displaystyle \Gamma \in C(G)}$ ein nullhomologer Zyklus und ${\displaystyle f\colon G\to \mathbb {C} }$ holomorph. Dann gilt

${\displaystyle n(\Gamma ,z)\cdot f^{(n)}(z)={\frac {n!}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(w)}{(w-z)^{n+1}}}\,dw}$

für jedes ${\displaystyle z\in G\setminus \mathrm {spur} (\Gamma )}$ und jedes ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist:

Sei ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {C} }$ offen und ${\displaystyle f\colon G\to \mathbb {C} }$ holomorph. Sei ${\displaystyle z_{0}\in G}$ und ${\displaystyle r>0}$ so, dass ${\displaystyle {\bar {B}}_{r}(z_{0})\subseteq G}$ gilt. Dann ist ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle B_{r}(z_{0})}$ durch eine konvergente Potenzreihe

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}$

darstellbar und die Koeffizienten sind durch

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial B_{r}(z_{0})}{\frac {f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}}\,dw}$

gegeben.

Für ${\displaystyle z\in B_{r}(z_{0})}$, ${\displaystyle w\in \partial B_{r}(z_{0})}$ haben wir:

${\displaystyle {\begin{array}{rl}\displaystyle {\frac {1}{w-z}}&=\displaystyle {\frac {1}{(w-z_{0})-(z-z_{0})}}\\&=\displaystyle {\frac {1}{w-z_{0}}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {z-z_{0}}{w-z_{0}}}}}\\&=\displaystyle {\frac {1}{w-z_{0}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z-z_{0})^{n}}{(w-z_{0})^{n}}}.\end{array}}}$

Die Reihe konvergiert wegen ${\displaystyle |z-z_{0}|<r=|w-z_{0}|}$ absolut und wir erhalten

${\displaystyle {\begin{array}{rl}f(z)&=\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial B_{r}(z_{0})}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw\\&=\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial B_{r}(z_{0})}{\frac {1}{w-z_{0}}}{\frac {f(w)(z-z_{0})^{n}}{(w-z_{0})^{n}}}\,dw\\&=\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }\int _{\partial B_{r}(z_{0})}{\frac {f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}}\,dw\cdot (z-z_{0})^{n}\\&=\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }\int _{\partial B_{r}(z_{0})}{\frac {f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}}\,dw\cdot (z-z_{0})^{n}\end{array}}}$

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• vorausgehender Inhalt des Kurses ist der Cauchy-Integralsatz für Zyklen