Invariantenring/Konjugierte Untergruppen/Isomorph/Fakt/Beweis

Die beiden Untergruppen seien vermöge ${\displaystyle {}\tau \in G}$ zueinander konjugiert, d.h. die Abbildung

${\displaystyle H\longrightarrow H',\,\sigma \longmapsto \tau ^{-1}\sigma \tau ,}$

sei ein Gruppenisomorphismus. Wir betrachten den zu ${\displaystyle {}\tau }$ gehörenden Ringautomorphismus

${\displaystyle R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f\tau .}$

Für ${\displaystyle {}f\in R^{H}}$ und ${\displaystyle {}\sigma '\in H'}$ mit ${\displaystyle {}\sigma '=\tau ^{-1}\sigma \tau }$ ist

${\displaystyle {}(f\tau )\sigma '=(f\tau )(\tau ^{-1}\sigma \tau )=f\sigma \tau =f\tau \,,}$

also liegt das Bild in ${\displaystyle {}R^{H'}}$. Da man die Rollen von ${\displaystyle {}H}$ und ${\displaystyle {}H'}$ vertauschen kann, liegt ein Isomorphismus vor.