Invariantentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

Man nennt
${}G_{x}={\left\{g\in G\mid gx=x\right\}}\,$

die Isotropiegruppe zu ${}x$ .
Es ist
${}R^{G}={\left\{f\in R\mid f\sigma =f{\text{ für alle }}\sigma \in G\right\}}\,$

der Invariantenring von ${}R$ unter der Operation von ${}G$ .
Man nennt die Potenzreihe
$\sum _{d=0}^{\infty }\dim _{K}{\left(R_{d}\right)}z^{d}$

die Hilbert-Reihe von ${}R$ .
Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.
Die Abbildung ${}p$ heißt Überlagerung, wenn es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und eine Familie diskreter topologischer Räume ${}F_{i}$ , ${}i\in I$ , derart gibt, dass ${}p^{-1}(U_{i})$ homöomorph zu ${}U_{i}\times F_{i}$ (versehen mit der Produkttopologie) ist, wobei die Homöomorphien mit den Abbildungen nach ${}U_{i}$ verträglich sind.
Die affin-algebraische Gruppe ${}G$ heißt linear reduktiv, wenn jede ${}K$ -rationale Darstellung von ${}G$ vollständig reduzibel ist.