Jacobi-Matrix/3/Inverse Matrix/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,\left(x,\,y,\,z\right)\longmapsto \left(x^{2}-y^{3},\,xz+\sin y,\,yz^{2}\right).}$

1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${\displaystyle {}\varphi }$ in einem Punkt ${\displaystyle {}\left(x,\,y,\,z\right)}$.
2. Berechne die Jacobi-Determinante von ${\displaystyle {}\varphi }$ in einem Punkt ${\displaystyle {}\left(x,\,y,\,z\right)}$.
3. Begründe, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ in einer offenen Umgebung des Punktes ${\displaystyle {}P=\left(1,\,0,\,1\right)}$ einen Diffeomorphismus beschreibt.
4. Bestimme die Jacobi-Matrix der Umkehrabbildung ${\displaystyle {}\varphi ^{-1}}$ im Punkt ${\displaystyle {}\varphi (P)}$.