Jacobi-Matrix/3/Inverse Matrix/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,\left(x,\,y,\,z\right)\longmapsto \left(x^{2}-y^{3},\,xz+\sin y,\,yz^{2}\right).}$

1. Die Jacobi-Matrix zu ${\displaystyle {}\varphi }$ in ${\displaystyle {}\left(x,\,y,\,z\right)}$ ist

   ${\displaystyle {\begin{pmatrix}2x&-3y^{2}&0\\z&\cos y&x\\0&z^{2}&2yz\end{pmatrix}}.}$

2. Die Jacobi-Determinante von ${\displaystyle {}\varphi }$ in ${\displaystyle {}\left(x,\,y,\,z\right)}$ ist

   ${\displaystyle {}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}2x&-3y^{2}&0\\z&\cos y&x\\0&z^{2}&2yz\end{pmatrix}}&=2x{\left(2yz\cos y-xz^{2}\right)}-z{\left(-6y^{3}z\right)}\\&=4xyz\cos y-2x^{2}z^{2}+6y^{3}z^{2}\\&=z{\left(4xy\cos y-2x^{2}z+6y^{3}z\right)}.\end{aligned}}}$

3. Die Jacobi-Determinante von ${\displaystyle {}\varphi }$ in ${\displaystyle {}P=\left(1,\,0,\,1\right)}$ ist ${\displaystyle {}-2}$. Daher ist das totale Differential in diesem Punkt invertierbar und nach dem Satz über die Umkehrabbildung gibt es eine offene Umgebung von ${\displaystyle {}P}$, worauf ein Diffeomorphismus vorliegt.
4. Die Jacobi-Matrix von ${\displaystyle {}\varphi }$ in ${\displaystyle {}P}$ ist

   ${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&0&0\\1&1&1\\0&1&0\end{pmatrix}}.}$

   Die Jacobi-Matrix der Umkehrabbildung ${\displaystyle {}\varphi ^{-1}}$ in ${\displaystyle {}\varphi (P)}$ ist die inverse Matrix dazu. Das Invertierungsverfahren ergibt

   
   

   ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}2&0&0\\1&1&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$
   ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}$
   ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0&0\\0&0&1\\-{\frac {1}{2}}&1&-1\end{pmatrix}}}$

   Die Jacobi-Matrix der Umkehrabbildung ist somit

   ${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0&0\\0&0&1\\-{\frac {1}{2}}&1&-1\end{pmatrix}}.}$