Körper/Addition und Differenz/Isomorphismus/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon K^{2}\longrightarrow K^{2},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left(x+y,\,x-y\right).}$

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ linear ist.

b) Bestimme die beschreibende Matrix zu ${\displaystyle {}\varphi }$ bezüglich der Standardbasis.

c) Bestimme die Determinante von ${\displaystyle {}\varphi }$.

d) Es sei zusätzlich ${\displaystyle {}2\neq 0}$ in ${\displaystyle {}K}$ vorausgesetzt. Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ bijektiv ist, und bestimme die inverse Matrix der beschreibenden Matrix.