Körper/Addition und Differenz/Isomorphismus/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi {\left(\left(x_{1},\,y_{1}\right)+\left(x_{2},\,y_{2}\right)\right)}&=\varphi \left(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}\right)\\&=\left(x_{1}+x_{2}+y_{1}+y_{2},\,x_{1}+x_{2}-y_{1}-y_{2}\right)\\&=\left(x_{1}+y_{1},\,x_{1}-y_{1}\right)+\left(x_{2}+y_{2},\,x_{2}-y_{2}\right)\\&=\varphi \left(x_{1},\,y_{1}\right)+\varphi \left(x_{2},\,y_{2}\right)\end{aligned}}}$

und

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi s\left(x,\,y\right)&=\varphi {\left(\left(sx,\,sy\right)\right)}\\&=\left(sx+sy,\,sx-sy\right)\\&=s\left(x+y,\,x-y\right)\\&=s\varphi \left(x,\,y\right).\end{aligned}}}$

b) Die beschreibende Matrix ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}.}$

c) Es ist

${\displaystyle {}\det {\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}=-2\,.}$

d) Wegen ${\displaystyle {}2\neq 0}$ ist die Abbildung nach Fakt bijektiv. Die inverse Matrix ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}.}$