Körpererweiterung/Algebraisch unabhängig/Transitivität/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten ein Polynom ${\displaystyle {}P\in K[X_{1},\ldots ,X_{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s}]}$ mit

${\displaystyle {}P(g_{1},\ldots ,g_{r},f_{1},\ldots ,f_{s})=0\,}$

und müssen zeigen, dass es sich um das Nullpolynom handelt. Wir schreiben in Multiindexschreibweise

${\displaystyle {}P=\sum _{\mu ,\nu }a_{\mu ,\nu }X^{\mu }Y^{\nu }=\sum _{\nu }{\left(\sum _{\mu }a_{\mu ,\nu }X^{\mu }\right)}Y^{\nu }\,.}$

Wenn wir die Variablen ${\displaystyle {}X_{i}}$ durch ${\displaystyle {}f_{i}}$ ersetzen, so erhalten wir ein Polynom

${\displaystyle {}P{\left(f_{1},\ldots ,f_{r}\right)}\in K{\left(f_{1},\ldots ,f_{r}\right)}[Y_{1},\ldots ,Y_{s}]\subseteq L[Y_{1},\ldots ,Y_{s}]\,,}$

das, wenn man die ${\displaystyle {}Y_{j}}$ durch ${\displaystyle {}g_{j}}$ ersetzt, ${\displaystyle {}0}$ ergibt. Da die ${\displaystyle {}g_{j}}$ algebraisch unabhängig über ${\displaystyle {}L}$ sind, folgt, dass ${\displaystyle {}P{\left(f_{1},\ldots ,f_{r}\right)}}$ das Nullpolynom ist. Das bedeutet für jedes ${\displaystyle {}\nu }$, dass

${\displaystyle {}\sum _{\mu }a_{\mu ,\nu }f^{\mu }=0\,}$

ist. Da die ${\displaystyle {}f_{i}}$ algebraisch unabhängig über ${\displaystyle {}K}$ sind, folgt, dass für jedes ${\displaystyle {}\nu }$ die Polynome ${\displaystyle {}\sum _{\mu }a_{\mu ,\nu }f^{\mu }}$ die Nullpolynome sind. Dies bedeutet ${\displaystyle {}a_{\mu \nu }=0}$

${\displaystyle {}(\mu ,\nu )}$

${\displaystyle {}P}$