Körpererweiterung/Q(sqrt(3),i)/Basis und Graduierung/Aufgabe/Lösung

a) Die Körpererweiterung kann man als

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {3}}]=M\subseteq M[{\mathrm {i} }]=L\,}$

schreiben. Da ${\displaystyle {}{\sqrt {3}}}$ irrational ist, hat die erste Körpererweiterung den Grad ${\displaystyle {}2}$ und wegen ${\displaystyle {}M\subseteq \mathbb {R} }$ ist ${\displaystyle {}{\mathrm {i} }\notin M}$, sodass auch die hintere Körpererweiterung den Grad ${\displaystyle {}2}$ besitzt. Nach der Gradformel liegt insgesamt der Grad ${\displaystyle {}4}$ vor.

b) Eine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis ist

${\displaystyle 1,{\sqrt {3}},{\mathrm {i} },{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }.}$

Wegen ${\displaystyle {}{\sqrt {3}}^{2},{\mathrm {i} }^{2}\in \mathbb {Q} }$ ist dies offensichtlich ein Erzeugendensystem, und da es sich um ${\displaystyle {}4}$ Elemente handelt und der Grad ${\displaystyle {}4}$ ist, muss es eine Basis sein.

c) Mit der Basis aus Teil (b) können wir

${\displaystyle L=\mathbb {Q} \cdot 1\oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {3}}\oplus \mathbb {Q} \cdot {\mathrm {i} }\oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}$

schreiben. Es sei ${\displaystyle {}D=\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)}$. Die Festlegungen ${\displaystyle {}L_{(0,0)}=\mathbb {Q} \cdot 1}$, ${\displaystyle {}L_{(1,0)}=\mathbb {Q} \cdot {\sqrt {3}}}$, ${\displaystyle {}L_{(0,1)}=\mathbb {Q} \cdot {\mathrm {i} }}$ und ${\displaystyle {}L_{(1,1)}=\mathbb {Q} \cdot {\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}$ liefern eine durch ${\displaystyle {}D}$ indizierte Summenzerlegung von ${\displaystyle {}L}$. Die Eigenschaft ${\displaystyle {}L_{d}\cdot L_{e}\subseteq L_{d+e}}$ folgt unmittelbar aus Eigenschaften der gewählten Basiselemente.

d) Da eine graduierte Körpererweiterung vorliegt, liefern die Charaktere die vier Automorphismen ${\displaystyle {}\operatorname {Id} }$,

${\displaystyle a+b{\sqrt {3}}+c{\mathrm {i} }+d{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }\longmapsto a-b{\sqrt {3}}+c{\mathrm {i} }-d{\sqrt {3}}{\mathrm {i} },}$

${\displaystyle a+b{\sqrt {3}}+c{\mathrm {i} }+d{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }\longmapsto a+b{\sqrt {3}}-c{\mathrm {i} }-d{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}$

und

${\displaystyle a+b{\sqrt {3}}+c{\mathrm {i} }+d{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }\longmapsto a-b{\sqrt {3}}-c{\mathrm {i} }+d{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }.}$

Mehr Automorphismen kann es aufgrund von Fakt nicht geben.

e) Wir berechnen

${\displaystyle {}({\sqrt {3}}+{\mathrm {i} })^{2}=2+2{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }\,,}$

${\displaystyle {}({\sqrt {3}}+{\mathrm {i} })^{3}=(2+2{\sqrt {3}}{\mathrm {i} })({\sqrt {3}}+{\mathrm {i} })=2{\sqrt {3}}+2{\mathrm {i} }+6{\mathrm {i} }-2{\sqrt {3}}=8{\mathrm {i} }\,}$

und

${\displaystyle {}({\sqrt {3}}+{\mathrm {i} })^{4}=(2+2{\sqrt {3}}{\mathrm {i} })^{2}=4-12+8{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }=-8+8{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }\,.}$

Daraus folgt einerseits, dass ${\displaystyle {}{\sqrt {3}}+{\mathrm {i} }}$ ein erzeugendes Element der Körpererweiterung sein muss und dass das Minimalpolynom den Grad ${\displaystyle {}4}$ hat. Andererseits sieht man aus diesen Rechnungen direkt

${\displaystyle {}({\sqrt {3}}+{\mathrm {i} })^{4}-4({\sqrt {3}}+{\mathrm {i} })^{2}=-16\,}$

und somit ist

${\displaystyle X^{4}-4X^{2}+16}$

${\displaystyle {}{\sqrt {3}}+{\mathrm {i} }}$