Kleinsche Vierergruppe/Matrix-Darstellungen/Aufgabe

Wir interessieren uns für treue Matrix-Darstellungen der Kleinschen Vierergruppe ${\displaystyle {}G=\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)}$ über einem Körper ${\displaystyle {}K}$.

a) Zeige, dass es keine eindimensionale treue Darstellung von ${\displaystyle {}G}$ gibt.

b) Die Charakteristik von ${\displaystyle {}K}$ sei nicht ${\displaystyle {}2}$. Zeige, dass es eine zweidimensionale treue Darstellung von ${\displaystyle {}G}$ gibt.

c) Es sei ${\displaystyle {}K=\mathbb {Z} /(2)}$. Zeige, dass es keine zweidimensionale treue Darstellung von ${\displaystyle {}G}$ gibt.

d) Zeige, dass es einen Körper ${\displaystyle {}K}$ der Charakteristik ${\displaystyle {}2}$ derart gibt, dass es über ${\displaystyle {}K}$ eine zweidimensionale treue Darstellung von ${\displaystyle {}G}$ gibt.

e) Die Charakteristik von ${\displaystyle {}K}$ sei ${\displaystyle {}2}$. Zeige, dass es eine vierdimensionale treue Darstellung von ${\displaystyle {}G}$ gibt.