Kleinsche Vierergruppe/Matrix-Darstellungen/Aufgabe/Lösung

a) Für eine treue Darstellung braucht man insbesondere drei Matrizen, derer Ordnung gleich ${\displaystyle {}2}$ ist. In ${\displaystyle {}K}$ gibt es aber nur die Elemente ${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}-1}$, deren Quadrat gleich ${\displaystyle {}1}$ ist.

b) In Charakteristik ${\displaystyle {}\neq 2}$ ist ${\displaystyle {}1\neq -1}$. Die vier Matrizen ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}}}$ bilden eine Gruppe, die isomorph zur Kleinschen Vierergruppe ist.

c) Es gibt sechzehn ${\displaystyle {}2\times 2}$-Matrizen über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)}$. Diese sind genau dann invertierbar, wenn es darin genau eine ${\displaystyle {}0}$ gibt oder wenn es zwei Nullen gibt, die diagonal gegenüberstehen. Daher besteht die Gruppe der invertierbaren Matrizen aus sechs Elementen, und kann nach dem Satz von Lagrange keine Untergruppe mit vier Elementen enthalten.

d) Wir betrachten

${\displaystyle {}K=\mathbb {Z} /(2)(X)\,,}$

den Körper der rationalen Funktionen über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)}$. Die vier Matrizen

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&X\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&X+1\\0&1\end{pmatrix}},\,}$

bilden eine Gruppe, da die Multiplikation von solchen oberen Dreiecksmatrizen der Addition der Einträge rechts oben entspricht.

e) In Charakteristik ${\displaystyle {}2}$ ist

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,.}$

Daher bilden die vier Matrizen

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$