Kommutativer Ring/Ideal/Endlich erzeugt/Überdeckungstest/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}=\bigcup _{i\in I}D(f_{i})}$ mit ${\displaystyle {}f_{i}\in R}$. Es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ ein Ideal in ${\displaystyle {}R}$ mit der Eigenschaft, dass die Erweiterungsideale ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}R_{f_{i}}}$ endlich erzeugt sind. Zeige, dass ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ endlich erzeugt ist.