Kommutativer Ring/Ideal/Endlich erzeugt/Überdeckungstest/Aufgabe/Lösung

Wegen der Quasikompaktheit können wir annehmen, dass ${\displaystyle {}I}$ endlich ist und wir wissen nach Fakt  (9), dass die ${\displaystyle {}f_{i}}$ das Einheitsideal erzeugen. Es sei ${\displaystyle {}a_{j}}$, ${\displaystyle {}j\in J}$, ein Idealerzeugendensystem von ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$. Dieses System ist auch, aufgefasst in ${\displaystyle {}R_{f_{i}}}$, ein ${\displaystyle {}R_{f_{i}}}$-Erzeugendensystem von ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}R_{f_{i}}}$. Dabei genügt jeweils ein endliches Teilsystem. Es gibt also ein endliches Teilsystem ${\displaystyle {}a_{j}}$, ${\displaystyle {}j\in J_{0}}$, das in den Nenneraufnahmen zu einem Erzeugendensystem wird. Wir behaupten, dass dies schon selbst ein Erzeugendensystem von ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ ist. Es sei also ${\displaystyle {}b\in {\mathfrak {a}}}$. Dann gibt es für jedes ${\displaystyle {}i}$ eine Gleichung

${\displaystyle {}b=\sum _{j\in J_{0}}{\frac {c_{ij}}{f_{i}^{n_{ij}}}}a_{j}\,}$

in ${\displaystyle {}R_{f_{i}}}$ bzw. zurückübersetzt nach ${\displaystyle {}R}$ eine Gleichung der Form

${\displaystyle {}f_{i}^{m_{i}}b=\sum _{j\in J_{0}}d_{ij}a_{j}\,.}$

Es gibt eine Darstellung der ${\displaystyle {}1}$ der Form ${\displaystyle {}\sum _{i\in I}g_{i}f_{i}^{m_{i}}=1}$. Somit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}b&=b{\left(\sum _{i\in I}g_{i}f_{i}^{m_{i}}\right)}\\&=\sum _{i\in I}g_{i}bf_{i}^{m_{i}}\\&=\sum _{i\in I}g_{i}{\left(\sum _{j\in J_{0}}d_{ij}a_{j}\right)}\\&=\sum _{j\in J_{0}}{\left(\sum _{i\in I}g_{i}d_{ij}\right)}a_{j},\end{aligned}}}$

was bedeutet, dass sich ${\displaystyle {}b}$ als Linearkombination der ${\displaystyle {}a_{j}}$, ${\displaystyle {}j\in J_{0}}$,