Komplexe Exponentialfunktion/Bild/Aufgabe/Lösung

Es sei ${\displaystyle {}w\in {\mathbb {C} }}$, ${\displaystyle {}w\neq 0}$, vorgegeben. Nach Fakt gibt es eine reelle Zahl ${\displaystyle {}r>0}$ und ein ${\displaystyle {}\varphi \in [0,2\pi [}$ mit

${\displaystyle {}w=r\cdot \exp \left({\mathrm {i} }\varphi \right)\,.}$

Nach Fakt gibt es ein ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle {}r=\exp x}$. Mit der Funktionalgleichung ist

${\displaystyle {}w=r\cdot \exp \left({\mathrm {i} }\varphi \right)=\exp x\cdot \exp \left({\mathrm {i} }\varphi \right)=\exp \left(x+{\mathrm {i} }\varphi \right)\,.}$