Kongruenzuntergruppe/Operation/Quotient/Kompaktifizierung/Bemerkung

Es sei ${\displaystyle {}\Gamma \subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}}$ eine Kongruenzuntergruppe, die auf der oberen Halbebene ${\displaystyle {}{\mathbb {H} }}$ durch Modulsubstitution operiert. Dazu gehört die Quotientenabbildung

${\displaystyle \pi _{\Gamma }\colon {\mathbb {H} }\longrightarrow {\mathbb {H} }/\Gamma =:Y_{\Gamma },}$

bei der durch ${\displaystyle {}\Gamma }$ ineinander überführbare Punkte miteinander identifiziert werden. Bei ${\displaystyle {}\Gamma =\Gamma (N)}$ und ${\displaystyle {}\Gamma =\Gamma _{0}(N)}$ finden sich Schreibweisen wie ${\displaystyle {}Y(N)}$ und ${\displaystyle {}Y_{0}(N)}$. Jede ${\displaystyle {}\Gamma }$-Modulform vom Gewicht ${\displaystyle {}0}$ faktorisiert durch ${\displaystyle {}Y_{\Gamma }}$. Bei ${\displaystyle {}\Gamma =\Gamma (1)=\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}}$ ist

${\displaystyle {}{\mathbb {H} }/\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\cong {\mathbb {C} }\,}$

und die Projektion stimmt mit der absoluten Invarianten ${\displaystyle {}j}$ überein. Bei einer Untergruppenbeziehung ${\displaystyle {}\Gamma \subseteq \Gamma '}$ liegt eine nach Aufgabe surjektive kanonische Abbildung

${\displaystyle {\mathbb {H} }/\Gamma \longrightarrow {\mathbb {H} }/\Gamma '}$

vor. Wenn ${\displaystyle {}\Gamma }$ ein Normalteiler in ${\displaystyle {}\Gamma '}$ ist, so operiert nach Aufgabe die endliche Restklassengruppe ${\displaystyle {}\Gamma '/\Gamma }$ auf ${\displaystyle {}{\mathbb {H} }/\Gamma }$ mit dem Quotienten ${\displaystyle {}{\mathbb {H} }/\Gamma '}$. Bei ${\displaystyle {}\Gamma =\Gamma (N)}$ und ${\displaystyle {}\Gamma '=\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}}$ erhält man speziell, dass

${\displaystyle {}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}/\Gamma (N)\cong \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} /(N)\right)}\,}$

auf ${\displaystyle {}{\mathbb {H} }/\Gamma }$ operiert mit dem Quotienten

${\displaystyle {}{\mathbb {H} }/\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\cong {\mathbb {C} }\,.}$

Die ${\displaystyle {}Y_{\Gamma }}$ sind riemannsche Flächen und die Quotientenabbildungen sind holomorph. Man kann sie durch die Hinzunahme von endlich vielen Punkten kompaktifizieren und erhält dadurch kompakte Riemannsche Flächen ${\displaystyle {}X_{\Gamma }}$, die Modulflächen heißen. Da kompakte Riemannschen Flächen den glatten projektiven Kurven über ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ entsprechen, spricht man auch von Modulkurven.