Konstruktion von Z/Aus NxN/Aufgabe

Betrachte auf der Produktmenge

${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d){\text{ wenn }}a+d=b+c.}$

Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist. Es sei ${\displaystyle {}Z}$ die Menge der Äquivalenzklassen. Definiere auf ${\displaystyle {}Z}$ eine Addition ${\displaystyle {}\oplus }$, die die Eigenschaft

${\displaystyle {}{\overline {(a,0)}}\oplus {\overline {(b,0)}}={\overline {(a+b,0)}}\,}$

erfüllt (der Querstrich bedeutet dabei die zugehörige Äquivalenzklasse) und die ${\displaystyle {}Z}$ zu einer kommutativen Gruppe macht.