Konstruktion von Z/Aus NxN/Aufgabe/Lösung

Die Relation ist trivialerweise reflexiv, da die Addition in ${\displaystyle {}\mathbb {N} }$ kommutativ ist. Auch die Symmetrie ist direkt klar. Zur Transitivität sei

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d){\text{ und }}(c,d)\sim (e,f),}$

d.h.

${\displaystyle a+d=b+c{\text{ und }}c+f=d+e.}$

Damit ist insgesamt

${\displaystyle a+d+f=b+c+f=b+d+e.}$

Hier können wir beidseitig ${\displaystyle {}d}$ abziehen und erhalten ${\displaystyle {}a+f=b+e}$, was ${\displaystyle {}(a,b)\sim (e,f)}$ bedeutet.

Wir definieren nun die Addition durch

${\displaystyle {\overline {(a,b)}}\oplus {\overline {(c,d)}}={\overline {(a+c,b+d)}}.}$

Wir müssen zeigen, dass diese Addition wohldefiniert ist. Sei dazu

${\displaystyle (a,b)\sim (a',b'),{\text{ also }}a+b'=a'+b}$

${\displaystyle (c,d)\sim (c',d'),{\text{ also }}c+d'=c'+d.}$

Wir müssen zeigen, dass

${\displaystyle (a+c,b+d)\sim (a'+c',b'+d')}$

ist. Dies folgt aber aus

${\displaystyle {}a+c+b'+d'=a+b'+c+d'=a'+b+c'+d=a'+c'+b+d\,.}$

Wenn die hintere Komponente beidesmal ${\displaystyle {}0}$ ist, so wird in der ersten Komponente einfach wie in ${\displaystyle {}\mathbb {N} }$ addiert. Die Verknüpfung ist assoziativ, da die komponentenweise Addition auf der Produktmenge assoziativ ist und sich dies auf die Verknüpfung auf den Äquivalenzklassen überträgt. Daraus folgt auch sofort, dass ${\displaystyle {}{\overline {(0,0)}}}$ das neutrale Element ist. Die Kommutativität der Verknüpfung ist ebenfalls klar. Zu einem Element ${\displaystyle {}{\overline {(a,b)}}}$ ist

${\displaystyle {\overline {(b,a)}}}$

das inverse Element. Es ist ja

${\displaystyle {\overline {(a,b)}}\oplus {\overline {(b,a)}}={\overline {(a+b,a+b)}}={\overline {(0,0)}},}$

wobei die letzte Gleichung sich direkt aus der Definition der

${\displaystyle {}\sim }$