Kreis/Diskrete Gleichverteilung/Aufgabe

Es sei

${\displaystyle {}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1,\,y\geq 0\right\}}\,}$

der obere Einheitshalbkreis und

${\displaystyle p\colon M\longrightarrow [-1,1],\,(x,y)\longmapsto x,}$

die Projektion auf die ${\displaystyle {}x}$-Achse. Zu ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ seien ${\displaystyle {}n+1}$ Punkte auf ${\displaystyle {}M}$ gleichverteilt in dem Sinne, dass ${\displaystyle {}(1,0)}$ und ${\displaystyle {}(-1,0)}$ dazugehören und dass der Winkel zwischen zwei benachbarten Punkten konstant ist.

a) Skizziere die Situation für ${\displaystyle {}n=7}$ einschließlich der Bildpunkte unter ${\displaystyle {}p}$.

b) Es sei ${\displaystyle {}\mu _{n}}$ das Zählmaß auf ${\displaystyle {}M}$, bei dem jeder Punkt der Verteilung den Wert ${\displaystyle {}1}$ erhält und es sei

${\displaystyle {}\nu _{n}=p_{*}\mu _{n}\,}$

das zugehörige Bildmaß auf ${\displaystyle {}[-1,1]}$. Man gebe eine Formel für

${\displaystyle \nu _{n}([t,1])}$

(${\displaystyle {}t\in [-1,1]}$) mit Hilfe des Arkuskosinus an.

c) Bestimme

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\nu _{n}([1-{\frac {2}{n}},1]).}$