Kreis/Diskrete Gleichverteilung/Aufgabe/Lösung

a)

b) Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle [0,\pi ]\longrightarrow M,\,s\longmapsto (\cos s,\sin s),}$

die den oberen Halbkreis gleichförmig parametrisiert. Dabei entspricht der angegebenen gleichwinkligen Unterteilung von ${\displaystyle {}M}$ mit ${\displaystyle {}n+1}$ Punkten die äquidistante Unterteilung des Intervalls ${\displaystyle {}[0,\pi ]}$ mit dem Abstand ${\displaystyle {}\pi /n}$, das wir ${\displaystyle {}\lambda _{n}}$ nennen. Das Bildmaß kann man also auch auffassen als Bildmaß zu ${\displaystyle {}\lambda _{n}}$ unter der Abbildung

${\displaystyle [0,\pi ]\longrightarrow [-1,1],\,s\longmapsto \cos s.}$

Daher ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\nu _{n}[t,1]&=\lambda _{n}{\left(\arccos([t,1])\right)}\\&=\lambda _{n}{\left([0,\arccos t]\right)}\\&=\left\lfloor {\frac {n\arccos t}{\pi }}\right\rfloor +1.\end{aligned}}}$

c) Wir behaupten, dass die Folge bestimmt gegen ${\displaystyle {}+\infty }$ divergiert. Es ist zunächst

${\displaystyle {}\left\lfloor {\frac {n\arccos {\left(1-{\frac {2}{n}}\right)}}{\pi }}\right\rfloor +1\geq {\frac {n\arccos {\left(1-{\frac {2}{n}}\right)}}{\pi }}={\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {\arccos {\left(1-{\frac {2}{n}}\right)}}{\frac {2}{n}}}\,.}$

Es genügt also zu zeigen, dass

${\displaystyle {}\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {\arccos {\left(1-h\right)}}{h}}=+\infty \,}$

ist. Nach der Regel von l'Hospital kann man stattdessen

${\displaystyle {}{\frac {\frac {1}{\sqrt {1-(1-h)^{2}}}}{1}}={\frac {1}{\sqrt {2h-h^{2}}}}={\frac {1}{{\sqrt {h}}{\sqrt {2-h}}}}\,}$

${\displaystyle {}+\infty }$