Kreisteilungsring/p/Kähler-Differentiale/Exakt/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine ungerade Primzahl,

${\displaystyle {}R_{p}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{p-1}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}\,}$

${\displaystyle {}R_{p}}$ der ${\displaystyle {}p}$-te Kreisteilungsring mit dem Modul der Kähler-Differentiale (vergleiche Beispiel)

${\displaystyle {}\Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} }\cong \mathbb {Z} /(p)[X]/(X-1)^{p-2}dX\,.}$

Zeige, dass es zu jedem Kähler-Differential

${\displaystyle {}\omega ={\left(a_{p-3}X^{p-3}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}\right)}dX\,}$

mit ${\displaystyle {}0\leq a_{j}<p}$ ein ${\displaystyle {}f\in R_{p}}$ mit ${\displaystyle {}df=\omega }$ gibt.