Kreisteilungsring/p/Kähler-Differentiale/Exakt/Aufgabe/Lösung

Da die universelle Derivation

${\displaystyle d\colon R_{p}\longrightarrow \Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} },\,f\longmapsto df,}$

${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$-linear ist, genügt es, für ${\displaystyle {}X^{j}dX}$ mit ${\displaystyle {}0\leq j\leq p-2}$ ein Urbild anzugeben. Wegen dieser Bedingung ist ${\displaystyle {}j+1}$ teilerfremd zu ${\displaystyle {}p}$, sei ${\displaystyle {}k}$ ein Inverses zu ${\displaystyle {}j+1}$ modulo ${\displaystyle {}p}$. Dann ist

${\displaystyle {}dkX^{j+1}=k(j+1)X^{j}dX=X^{j}dX\,.}$