Kubische Wurzel/Kubikzahlen/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl.

a) Bestimme den Grad der Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]\,.}$

Man gebe auch eine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis von ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]}$ an.

b) Zeige, dass in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]}$ alle Elemente der Form ${\displaystyle {}m^{3}p}$ und ${\displaystyle {}n^{3}p^{2}}$ mit ${\displaystyle {}m,n\in \mathbb {Q} }$ eine dritte Wurzel besitzen.

c) Die rationale Zahl ${\displaystyle {}x\in \mathbb {Q} }$ besitze in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]}$ eine dritte Wurzel. Zeige, dass ${\displaystyle {}x}$ die Form

${\displaystyle x=k^{3}{\text{ oder }}x=m^{3}p{\text{ oder }}x=n^{3}p^{2}}$

mit ${\displaystyle {}k,m,n\in \mathbb {Q} }$ besitzt.

d) Es sei nun ${\displaystyle {}q}$ eine weitere, von ${\displaystyle {}p}$ verschiedene Primzahl. Bestimme den Grad der Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}},{\sqrt[{3}]{q}}]\,.}$