Kubische Wurzel/Kubikzahlen/Aufgabe/Lösung

a) Wegen ${\displaystyle {}{\sqrt[{3}]{p}}\notin \mathbb {Q} }$ besitzt das Polynom ${\displaystyle {}X^{3}-p}$ keine Nullstelle in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$. Daher ist es nach Fakt irreduzibel und somit ist ${\displaystyle {}X^{3}-p}$ nach Fakt das Minimalpolynom und somit besitzt die Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]\,}$

den Grad ${\displaystyle {}3}$. Eine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis ist durch ${\displaystyle {}1,{\sqrt[{3}]{p}},{\sqrt[{3}]{p}}^{2}}$ gegeben.

b) Es ist

${\displaystyle {}(m{\sqrt[{3}]{p}})^{3}=m^{3}p\,}$

und

${\displaystyle {}(n({\sqrt[{3}]{p}})^{2})^{3}=n^{3}p^{2}\,.}$

c) Eine dritte Potenz in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]}$ besitzt die Form ${\displaystyle {}y^{3}}$ mit ${\displaystyle {}y\in \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]}$. Sei

${\displaystyle {}y=a+b{\sqrt[{3}]{p}}+c{\sqrt[{3}]{p}}^{2}=a+bp^{1/3}+cp^{2/3}\,}$

mit ${\displaystyle {}a,b,c\in \mathbb {Q} }$. Dann ist

${\displaystyle {}y^{3}=r+sp^{1/3}+tp^{2/3}\,}$

mit

${\displaystyle {}r=a^{3}+b^{3}p+c^{3}p^{2}+6abcp\,,}$

${\displaystyle {}s=3a^{2}b+3b^{2}cp+3ac^{2}p\,}$

und

${\displaystyle {}t=3a^{2}c+3ab^{2}+3bc^{2}p\,.}$

Wegen ${\displaystyle {}y^{3}\in \mathbb {Q} }$ müssen die beiden hinteren Komponenten ${\displaystyle {}0}$ sein, also

${\displaystyle {}s=t=0\,.}$

Daher ist auch

${\displaystyle {}0=bs-at=3b^{3}cp-3a^{3}c=3c(b^{3}p-a^{3})\,.}$

Es sei zuerst der hintere Faktor ${\displaystyle {}0}$. Bei ${\displaystyle {}b\neq 0}$ müsste

${\displaystyle {}p={\left({\frac {a}{b}}\right)}^{3}\,}$

sein, was der Irrationalität dieser dritten Wurzel widerspricht. Also ist ${\displaystyle {}b=0}$ und damit auch ${\displaystyle {}a=0}$.

Es sei nun

${\displaystyle {}c=0\,.}$

Wegen ${\displaystyle {}s=0}$ folgt daraus ${\displaystyle {}a=0}$ oder ${\displaystyle {}b=0}$. In jedem Fall sind also mindestens zwei der Koeffizienten ${\displaystyle {}a,b,c}$ gleich ${\displaystyle {}0}$. Die zugehörigen dritten Potenzen sind

${\displaystyle a^{3},b^{3}p,c^{3}p^{2}}$

und somit sind die rationalen Zahlen, die in diesem Körper eine dritte Wurzel besitzen, von der beschriebenen Art.

d) Wir betrachten die Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]\subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}},{\sqrt[{3}]{q}}]\,.}$

Nach Teil b) ist ${\displaystyle {}{\sqrt[{3}]{q}}\notin \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]}$. Somit ist ${\displaystyle {}X^{3}-q}$ irreduzibel über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]}$ und daher besitzt nach der gleichen Argumentation wie unter a) die Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]=\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}][{\sqrt[{3}]{q}}]\,}$

den Grad ${\displaystyle {}3}$. Nach der Gradformel besitzt die Gesamterweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}][{\sqrt[{3}]{q}}]=\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}},{\sqrt[{3}]{q}}]\,}$

den Grad

${\displaystyle {}3\cdot 3=9}$