Kurs:Analysis/Teil I/51/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Körper.
2. Eine Ordnungsrelation ${\displaystyle {}\preccurlyeq }$ auf einer Menge ${\displaystyle {}I}$.
3. Eine Cauchy-Folge ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ in einem angeordneten Körper ${\displaystyle {}K}$.
4. Eine Reihe ${\displaystyle {}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$ von komplexen Zahlen ${\displaystyle {}a_{k}}$.
5. Die Stetigkeit in einem Punkt ${\displaystyle {}a\in {\mathbb {K} }}$ einer Abbildung ${\displaystyle {}f:{\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }}$.
6. Eine untere Treppenfunktion zu einer Funktion

   ${\displaystyle f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} }$

   auf einem Intervall ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über rationale Zahlen in einem archimedisch angeordneten Körper ${\displaystyle {}K}$.
2. Das Weierstraß-Kriterium für Funktionenfolgen.
3. Der Satz über die Ableitung in einem lokalen Extremum.

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von ${\displaystyle {}7}$ und der andere ein Fassungsvermögen von ${\displaystyle {}10}$ Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Die folgende Kette von Inhaltspaaren kann man bei den gegebenen Möglichkeiten offensichtlich erreichen.

${\displaystyle (0,0),\,(7,0),\,(0,7),\,(7,7),\,(4,10),\,(4,0),\,(0,4),\,(7,4),\,(1,10),\,(1,0).}$

Es sei

${\displaystyle {}P={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=x^{2}\right\}}\,}$

die Standardparabel und ${\displaystyle {}K}$ der Kreis mit dem Mittelpunkt ${\displaystyle {}(0,1)}$ und dem Radius ${\displaystyle {}1}$.

1. Skizziere ${\displaystyle {}P}$ und ${\displaystyle {}K}$.
2. Erstelle eine Gleichung für ${\displaystyle {}K}$.
3. Bestimme die Schnittpunkte

   ${\displaystyle P\cap K.}$

4. Beschreibe die untere Kreisbogenhälfte als Graph einer Funktion von ${\displaystyle {}[-1,1]}$ nach ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$.
5. Bestimme, wie die Parabel relativ zum unteren Kreisbogen verläuft.

1. ${\displaystyle {}\,}$
2. Es ist

   ${\displaystyle {}{\begin{aligned}K&={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid (y-1)^{2}+x^{2}=1\right\}}\\&={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y^{2}-2y+1+x^{2}=1\right\}}\\&={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y^{2}-2y+x^{2}=0\right\}}.\end{aligned}}}$

3. Es geht um die gemeinsame Lösungsmenge der beiden Gleichungen

   ${\displaystyle {}y=x^{2}\,}$

   und

   ${\displaystyle {}y^{2}-2y+x^{2}=0\,.}$

   Wir ersetzen in der zweiten Gleichung ${\displaystyle {}x^{2}}$ durch ${\displaystyle {}y}$ und erhalten die Bedingung

   ${\displaystyle {}0=y^{2}-2y+y=y^{2}-y=y(y-1)\,.}$

   Also ist ${\displaystyle {}y=0}$ oder ${\displaystyle {}y=1}$. Dies führt zu den drei Schnittpunkten ${\displaystyle {}(0,0),(1,1),(-1,1)}$.

4. Die Kreisgleichung

   ${\displaystyle {}y^{2}-2y+x^{2}=0\,}$

   ist äquivalent zu

   ${\displaystyle {}y^{2}-2y=-x^{2}\,}$

   bzw. zu

   ${\displaystyle {}(y-1)^{2}=1-x^{2}\,.}$

   Somit ist

   ${\displaystyle {}y=1\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,.}$

   Der untere Kreisbogen ist somit der Graph der Funktion

   ${\displaystyle [-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto 1-{\sqrt {1-x^{2}}}.}$

5. Wir behaupten, dass die Parabel auf ${\displaystyle {}[-1,1]}$ oberhalb des unteren Kreisbogens verläuft. Es ist also

   ${\displaystyle {}x^{2}\geq 1-{\sqrt {1-x^{2}}}\,}$

   zu zeigen. Dies ist äquivalent zu

   ${\displaystyle {}{\sqrt {1-x^{2}}}\geq 1-x^{2}\,.}$

   Da beide Terme im angegebenen Intervall positiv sind, ist dies äquivalent zu

   ${\displaystyle {}1-x^{2}\geq {\left(1-x^{2}\right)}^{2}=1+x^{4}-2x^{2}\,.}$

   Dies ist äquivalent zu

   ${\displaystyle {}x^{4}-x^{2}\leq 0\,}$

   bzw. zu

   ${\displaystyle {}x^{2}-1\leq 0\,,}$

   was wegen ${\displaystyle {}x\in [-1,1]}$ erfüllt ist.

Es sei ${\displaystyle {}c\in K_{+}}$ ein Element in einem angeordneten Körper ${\displaystyle {}K}$ und sei ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${\displaystyle {}{\sqrt {c}}}$ mit dem Startwert ${\displaystyle {}x_{0}\in K_{+}}$. Es sei ${\displaystyle {}u\in K_{+}}$, ${\displaystyle {}d=c\cdot u^{2}}$, ${\displaystyle {}y_{0}=ux_{0}}$ und ${\displaystyle {}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${\displaystyle {}{\sqrt {d}}}$ mit dem Startwert ${\displaystyle {}y_{0}}$. Zeige

${\displaystyle {}y_{n}=ux_{n}\,}$

für alle ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$.

Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach ${\displaystyle {}n}$, wobei die Induktionsvoraussetzung direkt durch die Wahl des Startwerts gesichert ist. Es gelte also

${\displaystyle {}y_{n}=ux_{n}\,.}$

Dann ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}y_{n+1}&={\frac {y_{n}+{\frac {d}{y_{n}}}}{2}}\\&={\frac {ux_{n}+{\frac {u^{2}c}{ux_{n}}}}{2}}\\&={\frac {ux_{n}+u\cdot {\frac {c}{x_{n}}}}{2}}\\&=u\cdot {\frac {x_{n}+{\frac {c}{x_{n}}}}{2}}\\&=u\cdot x_{n+1}.\end{aligned}}}$

Beweise den Satz, dass jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge ${\displaystyle {}M}$ der reellen Zahlen ein Supremum besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}M\subseteq \mathbb {R} }$ eine nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge. Es sei ${\displaystyle {}x_{0}\in M}$ und ${\displaystyle {}y_{0}}$ eine obere Schranke für ${\displaystyle {}M}$, d.h. es ist ${\displaystyle {}x\leq y_{0}}$ für alle ${\displaystyle {}x\in M}$. Wir konstruieren zwei Folgen ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ und ${\displaystyle {}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$, wobei ${\displaystyle {}x_{n}\in M}$ wachsend, ${\displaystyle {}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ fallend ist und jedes ${\displaystyle {}y_{n}}$ eine obere Schranke von ${\displaystyle {}M}$ ist (sodass insbesondere ${\displaystyle {}x_{n}\leq y_{n}}$ für alle ${\displaystyle {}n}$ ist), und so, dass ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Cauchy-Folge ist. Dabei gehen wir induktiv vor, d.h. die beiden Folgen seien bis ${\displaystyle {}n}$ bereits definiert und erfüllen die gewünschten Eigenschaften. Wir setzen

${\displaystyle x_{n+1}:={\begin{cases}x_{n},\,{\text{ falls }}[{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}},y_{n}]\cap M=\emptyset \,,\\{\text{ein beliebiger Punkt aus }}[{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}},y_{n}]\cap M{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}}$

und

${\displaystyle y_{n+1}:={\begin{cases}{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}},\,{\text{ falls }}[{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}},y_{n}]\cap M=\emptyset \,,\\y_{n}{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}}$

Dieses Punktepaar erfüllt die gewünschten Eigenschaften, und es ist

${\displaystyle y_{n}-x_{n}\leq \left({\frac {1}{2}}\right)^{n}(y_{0}-x_{0}),}$

da in beiden Fällen der Abstand zumindest halbiert wird. Da die Folge ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ wachsend und nach oben beschränkt ist, konvergiert sie nach Korollar 7.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gegen einen Grenzwert, sagen wir ${\displaystyle {}x}$. Ebenso ist die fallende Folge ${\displaystyle {}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ nach unten beschränkt und konvergiert gegen denselben Grenzwert ${\displaystyle {}x}$.  Wir behaupten, dass dieses ${\displaystyle {}x}$ das Supremum von ${\displaystyle {}M}$ ist. Wir zeigen zuerst, dass ${\displaystyle {}x}$ eine obere Schranke von ${\displaystyle {}M}$ ist.  Sei dazu ${\displaystyle {}z>x}$ für ein ${\displaystyle {}z\in M}$ angenommen. Da die Folge ${\displaystyle {}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ gegen ${\displaystyle {}x}$ konvergiert, gibt es insbesondere ein ${\displaystyle {}n}$ mit

${\displaystyle {}x\leq y_{n}<z\,}$

im Widerspruch dazu, dass jedes ${\displaystyle {}y_{n}}$ eine obere Schranke von ${\displaystyle {}M}$ ist.
 Für die Supremumseigenschaft müssen wir zeigen, dass ${\displaystyle {}x}$ kleinergleich jeder oberen Schranke von ${\displaystyle {}M}$ ist. Sei dazu ${\displaystyle {}u}$ eine obere Schranke von ${\displaystyle {}M}$ und  nehmen wir an, dass ${\displaystyle {}x>u}$ ist. Da ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ gegen ${\displaystyle {}x}$ konvergiert, gibt es wieder ein ${\displaystyle {}n}$ mit

${\displaystyle {}u<x_{n}\leq x\,}$

im Widerspruch dazu, dass ${\displaystyle {}u}$ eine obere Schranke ist. Also liegt wirklich das Supremum vor.

Beweise die folgenden Aussagen zu Real- und Imaginärteil von komplexen Zahlen.

1. Es ist ${\displaystyle {}z=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}+\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}{\mathrm {i} }}$.
2. Es ist ${\displaystyle {}\operatorname {Re} \,{\left(z+w\right)}=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}+\operatorname {Re} \,{\left(w\right)}}$.
3. Es ist ${\displaystyle {}\operatorname {Im} \,{\left(z+w\right)}=\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}+\operatorname {Im} \,{\left(w\right)}}$.
4. Für ${\displaystyle {}r\in \mathbb {R} }$ ist

   ${\displaystyle \operatorname {Re} \,{\left(rz\right)}=r\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}{\text{ und }}\operatorname {Im} \,{\left(rz\right)}=r\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}.}$

5. Es ist ${\displaystyle {}z=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}z\in \mathbb {R} }$ ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn ${\displaystyle {}\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}=0}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$. Es sei ${\displaystyle {}P=X^{n}\in K[X]}$ mit ${\displaystyle {}n\geq 1}$. Zeige, dass sämtliche normierten Teiler von ${\displaystyle {}P}$ die Form ${\displaystyle {}X^{k}}$, ${\displaystyle {}1\leq k\leq n}$, besitzen.

Die angegeben Potenzen sind offenbar Teiler von ${\displaystyle {}X^{n}}$. Die Umkehrung beweisen wir durch Induktion über ${\displaystyle {}n}$. Als Teiler kommen nur Polynome in Frage, deren Grad kleiner/gleich ${\displaystyle {}n}$ ist. Sei ${\displaystyle {}n=1}$. Eine Faktorzerlegung in normierte Polynome muss die Form

${\displaystyle {}X=(X+a)\cdot 1\,}$

haben, was ${\displaystyle {}a=0}$ erzwingt. Es sei nun ${\displaystyle {}n}$ beliebig und eine Faktorzerlegung

${\displaystyle {}X^{n}=P\cdot Q\,}$

in normierte Polynome ${\displaystyle {}P,Q}$ vorgegeben. Da ${\displaystyle {}0}$ eine Nullstelle links ist, muss ${\displaystyle {}P(0)=0}$ oder ${\displaystyle {}Q(0)=0}$ sein. Sagen wir der erste Fall liegt vor. Nach Lemma 11.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist ${\displaystyle {}X}$ ein Teiler von ${\displaystyle {}P}$ und somit ist

${\displaystyle {}X^{n}=({\tilde {P}}X)\cdot Q\,.}$

Da ${\displaystyle {}K[X]}$ nullteilerfrei ist, folgt

${\displaystyle {}X^{n-1}={\tilde {P}}\cdot Q\,}$

und die Aussage folgt aus der Induktionsvoraussetzung.

Setze in das Polynom ${\displaystyle {}-5X^{3}-X^{2}+{\sqrt {2}}X+{\sqrt {5}}}$ die Zahl ${\displaystyle {}{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$ ein.

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(-5X^{3}-X^{2}+{\sqrt {2}}X+{\sqrt {5}}\right)}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}&=-5{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}^{3}-{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}^{2}+{\sqrt {2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}+{\sqrt {5}}\\&=-5{\left({\sqrt {2}}^{3}+3{\sqrt {2}}^{2}{\sqrt {3}}+3{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}^{2}+{\sqrt {3}}^{3}\right)}-{\left({\sqrt {2}}^{2}+2{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+{\sqrt {3}}^{2}\right)}+{\sqrt {2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}+{\sqrt {5}}\\&=-5{\left(2{\sqrt {2}}+6{\sqrt {3}}+9{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}\right)}-{\left(2+2{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+3\right)}+2+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}\\&=-5{\left(11{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}\right)}-3-2{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}\\&=-55{\sqrt {2}}-45{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}-3+{\sqrt {5}}.\,\end{aligned}}}$

Beweise den Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion zu einer streng wachsenden, stetigen Funktion ${\displaystyle {}f\colon I\rightarrow \mathbb {R} }$, zu einem Intervall ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$.

Dass das Bild wieder ein Intervall ist folgt aus Korollar 13.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
Die Funktion ${\displaystyle {}f}$ ist injektiv, da sie streng wachsend ist und damit ist die Abbildung

${\displaystyle f\colon I\longrightarrow J}$

auf das Bild bijektiv.
Die Umkehrfunktion

${\displaystyle f^{-1}\colon J\longrightarrow I}$

ist ebenfalls streng wachsend.
Sei ${\displaystyle {}g:=f^{-1}}$ und ${\displaystyle {}y:=f(x)}$ vorgegeben. Es sei zunächst ${\displaystyle {}y}$ kein Randpunkt von ${\displaystyle {}J}$. Dann ist auch ${\displaystyle {}x}$ kein Randpunkt von ${\displaystyle {}I}$. Sei ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ vorgegeben und ohne Einschränkung ${\displaystyle {}[x-\epsilon ,x+\epsilon ]\subseteq I}$ angenommen. Dann ist

${\displaystyle {}\delta :={\min {\left(y-f(x-\epsilon ),f(x+\epsilon )-y\right)}}>0\,}$

und für ${\displaystyle {}y'\in [y-\delta ,y+\delta ]}$ gilt wegen der Monotonie

${\displaystyle {}g(y')\in [g(y-\delta ),g(y+\delta )]\subseteq [x-\epsilon ,x+\epsilon ]\,.}$

Also ist ${\displaystyle {}g}$ stetig in ${\displaystyle {}y}$. Wenn ${\displaystyle {}y}$ ein Randpunkt von ${\displaystyle {}J}$ ist, so ist auch ${\displaystyle {}x}$ ein Randpunkt von ${\displaystyle {}I}$, sagen wir der rechte Randpunkt. Dann ist zu vorgegebenem ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ wieder ${\displaystyle {}[x-\epsilon ,x]\subseteq I}$ und ${\displaystyle {}\delta :=y-f(x-\epsilon )}$ erfüllt die geforderte Eigenschaft.

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von ${\displaystyle {}42}$ ist?

Es geht um eine reelle Lösung für die Gleichung

${\displaystyle {}f(x)=x^{3}-4x^{2}={\sqrt {42}}\,.}$

Es ist ${\displaystyle {}f(0)=0}$ und ${\displaystyle {}f(5)=25}$ und ${\displaystyle {}0\leq {\sqrt {42}}\leq 25}$. Da ${\displaystyle {}f}$ als Polynomfunktion stetig ist, gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle {}f(x)={\sqrt {42}}}$.

Ordne die Zahlen

${\displaystyle \exp \left(0,6\right),\,\exp \left(0,7\right){\text{ und }}2}$

gemäß ihrer Größe.

Es ist einerseits

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\exp \left(0{,}7\right)&\geq 1+0{,}7+{\frac {1}{2}}\cdot 0{,}7^{2}+{\frac {1}{6}}\cdot 0{,}7^{3}\\&=1{,}7+0{,}245+{\frac {1}{6}}\cdot 0{,}343\\&>1{,}945+0{,}057\\&=2{,}002\\&>2.\end{aligned}}}$

Andererseits ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\exp \left(0{,}6\right)&\leq 1+0{,}6+{\frac {1}{2}}\cdot 0{,}6^{2}+{\frac {1}{6}}{\left(0{,}6^{3}+0{,}6^{4}+\cdots \right)}\\&=1{,}6+0{,}18+{\frac {1}{6}}\cdot 0{,}6^{3}{\left(1+0{,}6+0{,}6^{2}+\cdots \right)}\\&=1{,}78+{\frac {1}{6}}\cdot 0{,}6^{3}\cdot {\frac {5}{2}}\\&=1{,}78+{\frac {3^{3}\cdot 5}{6\cdot 5^{3}\cdot 2}}\\&=1{,}78+{\frac {9}{100}}\\&=1{,}87\\&<2,\end{aligned}}}$

wobei wir im dritten Schritt die geometrische Reihe verwendet haben. Daher ist

${\displaystyle {}\exp \left(0{,}6\right)<2<\exp \left(0{,}7\right)\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{+}}$ eine differenzierbare Funktion. Bestimme die Ableitung der Funktion

${\displaystyle {}g(x):={\frac {f(f(x))}{f(x)}}\,.}$

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}g'(x)&={\frac {(f(f(x)))'\cdot f(x)-f(f(x))\cdot f'(x)}{f^{2}(x)}}\\&={\frac {f'(f(x))\cdot f'(x)\cdot f(x)-f(f(x))\cdot f'(x)}{f^{2}(x)}}.\end{aligned}}}$

Wir betrachten die Funktion

${\displaystyle [1,2]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t)={\frac {1}{t}}.}$

1. Beschreibe den Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu ${\displaystyle {}g}$ zur Intervallunterteilung ${\displaystyle {}1\leq x\leq 2}$ in Abhängigkeit von ${\displaystyle {}x}$.
2. Bestimme dasjenige ${\displaystyle {}x}$ zwischen ${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}2}$, für das der Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu ${\displaystyle {}g}$ zur Intervallunterteilung ${\displaystyle {}1\leq x\leq 2}$ maximal wird. Welchen Wert hat dieser Flächeninhalt?

1. Da ${\displaystyle {}g}$ streng fallend ist, besitzt die maximale untere Treppenfunktion auf jedem Teilintervall den Wert von ${\displaystyle {}g}$ an der oberen Intervallgrenze. Der Flächeninhalt der maximalen unteren Treppenfunktion ist also

   ${\displaystyle {}h(x)={\left(x-1\right)}{\frac {1}{x}}+{\left(2-x\right)}{\frac {1}{2}}=2-{\frac {1}{x}}-{\frac {x}{2}}\,.}$

2. Es ist

   ${\displaystyle {}h'(x)={\frac {1}{x^{2}}}-{\frac {1}{2}}\,.}$

   Dies ist genau dann gleich ${\displaystyle {}0}$, wenn

   ${\displaystyle {}{\frac {1}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}\,,}$

   also

   ${\displaystyle {}x={\sqrt {2}}\,}$

   ist. Da die zweite Ableitung negativ ist, liegt in diesem Punkt ein lokales isoliertes Maximum mit dem Wert

   ${\displaystyle {}h({\sqrt {2}})=2-{\frac {1}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}=2-2{\frac {1}{\sqrt {2}}}=2-{\sqrt {2}}\,}$

   vor, das auch global ist, da an den Grenzen der Wert ${\displaystyle {}{\frac {1}{2}}}$ ist.

Eine Kettenlinie (eine durchhängende Kette) wird durch die gewöhnliche Differentialgleichung

${\displaystyle {}y''=c{\sqrt {1+y'^{2}}}\,}$

beschrieben (${\displaystyle {}c>2}$). Finde die Lösung, wenn ${\displaystyle {}y(-1)=y(1)=0}$ ist.

Wir setzen

${\displaystyle {}z=y'\,,}$

diese Funktion erfüllt dann die Differentialgleichung

${\displaystyle {}z'=c{\sqrt {1+z^{2}}}\,}$

erster Ordnung. Das ist eine „zeitunabhängige“ Differentialgleichung. Eine Stammfunktion von ${\displaystyle {}{\frac {1}{\sqrt {1+z^{2}}}}}$ findet man (siehe Lemma 27.8 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))) mit der Substitution

${\displaystyle {}z=\sinh s\,,}$

es ist

${\displaystyle {}\int _{a}^{b}{\frac {1}{\sqrt {z^{2}+1}}}dz=\int _{\,\operatorname {arsinh} \,a\,}^{\,\operatorname {arsinh} \,b\,}{\frac {1}{\cosh s}}\cosh sds=\int _{\,\operatorname {arsinh} \,a\,}^{\,\operatorname {arsinh} \,b\,}1ds\,,}$

eine Stammfunktion ist also ${\displaystyle {}\,\operatorname {arsinh} \,z\,}$. Die Lösungen der Differentialgleichung für ${\displaystyle {}z}$ sind also

${\displaystyle {}z(x)=c\sinh(x+\alpha )\,.}$

Daher sind die Lösungen für die ursprüngliche Gleichung gleich

${\displaystyle {}y(x)=\beta +c\cosh(x+\alpha )\,.}$

Da die Anfangsbedingung symmetrisch zur ${\displaystyle {}y}$-Achse ist, muss

${\displaystyle {}\alpha =0\,}$

sein. Die Bedingung

${\displaystyle {}y(1)=\beta +c\cosh(1)=0\,}$

liefert

${\displaystyle {}\beta =-c\cosh(1)=-c{\frac {e^{1}+e^{-1}}{2}}\,.}$

Also ist

${\displaystyle {}y(x)=-c{\frac {e^{1}+e^{-1}}{2}}+c\cosh x\,}$

die Lösung.