Kurs:Elementare Algebra/1/Test/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Verknüpfung ${\displaystyle {}\circ }$ auf einer Menge ${\displaystyle {}M}$.
2. Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).
3. Ein Normalteiler ${\displaystyle {}N}$ in einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
4. Ein Radikal in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
5. Der Quotientenkörper zu einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
6. Ein Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ über einem Körper ${\displaystyle {}K}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich ${\displaystyle {}R}$.
2. Der Satz über die Umkehrabbildung eines Gruppenisomorphismus.
3. Der Satz über die Einheiten in einem Restklassenring ${\displaystyle {}R/I}$.

Wir betrachten den Binomialkoeffizienten als eine Verknüpfung

${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(n,k)\longmapsto {\binom {n}{k}},}$

wobei bei ${\displaystyle {}k>n}$ der Binomialkoeffizient als ${\displaystyle {}0}$ zu interpretieren ist. Diese Verknüpfung ist offenbar nicht kommutativ.

a) Bestimme ${\displaystyle {}{\binom {\binom {3}{2}}{1}}}$ und ${\displaystyle {}{\binom {3}{\binom {2}{1}}}}$.

b) Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element von links?

c) Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element von rechts?

d) Ist diese Verknüpfung assoziativ?

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe. Zeige, dass

${\displaystyle {}{\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x\,}$

für alle ${\displaystyle {}x\in G}$ ist.

Bestimme die inversen Elemente der folgenden komplexen Zahlen.

a) ${\displaystyle {}3}$.

b) ${\displaystyle {}5{\mathrm {i} }}$.

c) ${\displaystyle {}3+5{\mathrm {i} }}$.

Man gebe ein Polynom ${\displaystyle {}P\in \mathbb {Q} [X]}$ an, das nicht zu ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [X]}$ gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl ${\displaystyle {}n}$ gilt: ${\displaystyle {}P(n)\in \mathbb {Z} }$.

Finde im Polynomring ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)[X]}$ ein irreduzibles Polynom vom Grad vier.

Man finde ein Polynom

${\displaystyle {}f=a+bX+cX^{2}\,}$

mit ${\displaystyle {}a,b,c\in \mathbb {R} }$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

${\displaystyle f(-1)=2,\,f(1)=0,\,f(3)=5.}$

Führe in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(5)[X]}$ die Division mit Rest „${\displaystyle {}P}$ durch ${\displaystyle {}T}$“ für die beiden Polynome ${\displaystyle {}P=X^{3}+4X^{2}+3X+4}$ und ${\displaystyle {}T=3X^{2}+2X+1}$ durch.

Zeige, dass ein euklidischer Bereich ein Hauptidealbereich ist.

Es sei ${\displaystyle {}n}$ eine natürliche Zahl ${\displaystyle {}\geq 2}$. Unter einer Teilerkette von ${\displaystyle {}n}$ verstehen wir eine Folge ${\displaystyle {}n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}}$ von Teilern von ${\displaystyle {}n}$, wobei stets ${\displaystyle {}n_{i}}$ die folgende Zahl ${\displaystyle {}n_{i+1}}$ teilt, aber nicht mit dieser übereinstimmt.

a) Finde eine Teilerkette von ${\displaystyle {}20}$, in der genau vier Zahlen stehen.

b) Charakterisiere, in Abhängigkeit von der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}n}$, wie lange die maximalen Teilerketten sind.

c) Für welche natürliche Zahlen gibt es nur eine Teilerkette maximaler Länge?

d) Wie viele Teilerketten maximaler Länge besitzt ${\displaystyle {}100}$?

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${\displaystyle {}5+2{\mathrm {i} }}$ und ${\displaystyle {}3+7{\mathrm {i} }}$.

In den Klassenarbeiten der Klasse ${\displaystyle {}7x}$ können die üblichen Noten mit den Zehntelangaben ${\displaystyle {}0,3}$ oder ${\displaystyle {}7}$ erzielt werden (also beispielsweise ${\displaystyle {}2+=1,7}$, ${\displaystyle {}2=2,0}$ und ${\displaystyle {}2-=2,3}$). Es werden im Halbjahr zwei Klassenarbeiten geschrieben, ihr Durchschnitt (das arithmetische Mittel) bestimmt über die Endnote, die ganzzahlig ist. Kann es einen Unterschied machen, ob man zuerst die einzelnen Klassenarbeiten rundet und dann den Durchschnitt rundet, oder ob man den Durchschnitt nimmt und dann rundet (${\displaystyle {},5}$ soll auf die größere ganze Note gerundet werden)?

Beweise den Satz über Normalteiler und Restklassengruppe.

Wir betrachten in der Gruppe ${\displaystyle {}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} =\mathbb {Z} ^{2}}$ die Untergruppe

${\displaystyle {}U=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\rangle ={\left\{a{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}\,}$

und die zugehörige Äquivalenzrelation.

a) Skizziere die Punkte (eine sinnvolle Auswahl) aus ${\displaystyle {}U}$ (als Punkte in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{2}}$) mit einer Farbe.

b) Skizziere mit verschiedenen Farben die verschiedenen Äquivalenzklassen (Nebenklassen).

c) Wie viele Äquivalenzklassen gibt es? Beschreibe ein Repräsentantensystem.

d) Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Farben. Welche Farben sind zueinander invers?

Beweise den chinesischen Restsatz für einen Hauptidealbereich.

a) Bestimme für die Zahlen ${\displaystyle {}3}$, ${\displaystyle {}5}$ und ${\displaystyle {}7}$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

${\displaystyle \mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(7)}$

die Restetupel ${\displaystyle {}(1,0,0),\,(0,1,0)}$ und ${\displaystyle {}(0,0,1)}$ repräsentieren.

b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung ${\displaystyle {}x}$ der simultanen Kongruenzen

${\displaystyle x=2\!\!\mod 3,\,\,\,\,x=4\!\!\mod 5{\text{ und }}x=3\!\!\mod 7.}$

Bestimme die Periodenlänge der Dezimalentwicklung von ${\displaystyle {}{\frac {1}{77}}}$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum. Es seien ${\displaystyle {}s_{1},\ldots ,s_{k}\in K}$ und ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V}$. Zeige

${\displaystyle {}{\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)}=\sum _{1\leq i\leq k,\,1\leq j\leq n}s_{i}\cdot v_{j}\,.}$