Kurs:Elementare Algebra/13/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine kommutative Gruppe.
2. Der Grad eines Polynoms ${\displaystyle {}P\in K[X]}$, ${\displaystyle {}P\neq 0}$, über einem Körper ${\displaystyle {}K}$.
3. Zwei teilerfremde Elemente ${\displaystyle {}a,b\in R}$ in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
4. Die Linksnebenklasse von ${\displaystyle {}x}$ in einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$ bezüglich einer Untergruppe ${\displaystyle {}H\subseteq G}$.
5. Eine Linearkombination in einem ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
6. Eine endliche Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms ${\displaystyle {}F\in K[X]}$.
2. Der Homomorphiesatz für Ringhomomorphismen (Satz vom induzierten Homomorphismus).
3. Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.

Es sei ${\displaystyle {}{\left(G,\cdot ,1\right)}}$ eine Gruppe. Es seien ${\displaystyle {}a,b,c\in G}$ Elemente mit

${\displaystyle {}a\cdot b\cdot c=1\,.}$

1. Zeige, dass das Inverse von ${\displaystyle {}b}$ gleich ${\displaystyle {}c\cdot a}$ ist.
2. Zeige, dass das Inverse von ${\displaystyle {}b}$ im Allgemeinen nicht gleich ${\displaystyle {}a\cdot c}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}n}$ eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl ${\displaystyle {}n^{2}-1}$ eine Primzahl?

Beweise den binomischen Lehrsatz für einen kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.

Es seien ${\displaystyle {}x,y\in R}$ Elemente in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$. Welche der folgenden Formulierungen sind zu

${\displaystyle {}Rx\subseteq Ry\,}$

äquivalent.

1. ${\displaystyle {}x}$ teilt ${\displaystyle {}y}$.
2. ${\displaystyle {}x}$ wird von ${\displaystyle {}y}$ geteilt.
3. ${\displaystyle {}y}$ wird von ${\displaystyle {}x}$ geteilt.
4. ${\displaystyle {}x}$ ist ein Vielfaches von ${\displaystyle {}y}$.
5. ${\displaystyle {}x}$ ist ein Vielfaches von ${\displaystyle {}x}$.
6. ${\displaystyle {}y}$ teilt ${\displaystyle {}x}$.
7. ${\displaystyle {}Rx\cap Ry=Rx}$.
8. Jedes Vielfache von ${\displaystyle {}y}$ ist auch ein Vielfaches von ${\displaystyle {}x}$.
9. Jeder Teiler von ${\displaystyle {}y}$ ist auch ein Teiler von ${\displaystyle {}x}$.
10. Ein Maikäfer ist ein Schmetterling.

Ein Metallarbeiter hat zwei Metallstäbe zur Verfügung. Wenn er den kleinen siebenmal hintereinanderlegt, erhält er genau drei Meter. Wenn er den großen achtmal hintereinanderlegt, erhält er genau fünf Meter.

1. Wie kann er allein mit diesen Stäben eine Länge von einem Meter bestimmen?
2. Was ist die kleinste positive Strecke, die er mit den Stäben messen kann?
3. Welche Streckenlängen kann er mit seinen beiden Metallstäben messen?

Beweise das Exponentenkriterium für die Teilbarkeit in einem faktoriellen Bereich.

1. Bestimme diejenigen reellen Polynomfunktionen, die bijektiv sind und für die die Umkehrfunktion ebenfalls polynomial ist.
2. Man gebe ein Beispiel für eine bijektive reelle Polynomfunktion, für die die Umkehrfunktion kein Polynom ist.
3. Zeige, dass durch das Polynom ${\displaystyle {}X^{5}}$ eine bijektive Abbildung

   ${\displaystyle \mathbb {Z} /(7)\longrightarrow \mathbb {Z} /(7),\,x\longmapsto x^{5},}$

   gegeben ist. Ist die Umkehrabbildung polynomial?

Zeige, dass das Bild eines Ideals unter einem Ringhomomorphismus nicht unbedingt wieder ein Ideal ist.

Bestimme die Lösungen der Gleichung

${\displaystyle {}x^{2}=x\,}$

über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(6)}$.

a) Bestimme die kanonische Produktzerlegung des Restklassenringes ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(180)}$.

b) Bestimme die Anzahl der Einheiten in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(180)}$.

c) Berechne das Bild von ${\displaystyle {}77}$ in der kanonischen Zerlegung. Begründe, dass ${\displaystyle {}77}$ eine Einheit in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(180)}$ ist.

d) Bestimme die multiplikative Ordnung von ${\displaystyle {}77}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(180)}$.

Zeige, dass die Gleichung

${\displaystyle {}{\frac {2}{n}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\,}$

in ${\displaystyle {}\mathbb {N} }$ auch Lösungen ${\displaystyle {}a\neq b}$ besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem über ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ${\displaystyle {}K^{n}}$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?

Wie erklären Sie einem Grundschulkind, dass der „Raum“ die „Dimension“ ${\displaystyle {}3}$ besitzt?

Es sei ${\displaystyle {}z\in \mathbb {R} }$ derart, dass es ein Polynom ${\displaystyle {}P\neq 0}$ mit rationalen Koeffizienten und mit

${\displaystyle {}P(z)=0\,}$

gibt. Zeige, dass man

${\displaystyle {}z={\frac {u}{v}}\,}$

schreiben kann, wobei ${\displaystyle {}v}$ eine positive natürliche Zahl ist und es zu ${\displaystyle {}u}$ ein normiertes Polynom ${\displaystyle {}Q}$ mit ganzzahligen Koeffizienten und mit

${\displaystyle {}Q(u)=0\,}$

gibt.

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl ${\displaystyle {}2+5{\mathrm {i} }}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$.

Bestimme die ${\displaystyle {}x}$-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome

${\displaystyle {}P=X^{3}+4X^{2}-7X+1\,}$

und

${\displaystyle {}Q=X^{3}-2X^{2}+5X+3\,.}$

Wir starten mit einer Geraden und den beiden darauf markierten Punkten ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}1}$. Wir betrachten Zirkelkonstruktionen, wobei nur Punkte auf dieser Geraden und Kreise erlaubt sind, die durch schon konstruierte Punkte auf dieser Geraden gegeben sind. Wir definieren rekursiv die Eigenschaft, dass ein Punkt in (höchstens) ${\displaystyle {}n+1}$ Schritten konstruierbar ist, wenn er auf dieser Geraden und auf einem Kreis liegt, der durch zwei Punkte gegeben ist, die in (höchstens) ${\displaystyle {}n}$ Schritten konstruierbar sind. Im nullten Schritt sind nur die beiden vorgegebenen Punkte konstruierbar. Erstelle eine rekursive Formel für ${\displaystyle {}\varphi (n+1)}$, die angibt, wie viele Punkte man in (höchstens) ${\displaystyle {}n+1}$ Schritten konstruieren kann. Was ist ${\displaystyle {}\varphi (3)}$?