Kurs:Elementare Algebra/17/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Einheit ${\displaystyle {}u}$ in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
2. Ein Normalteiler ${\displaystyle {}N}$ in einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
3. Ein Ringhomomorphismus

   ${\displaystyle \varphi \colon R\longrightarrow S}$

   zwischen Ringen ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}S}$.

4. Der Quotientenkörper zu einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
5. Ein Untervektorraum ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ in einem ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
6. Eine aus einer Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq E}$ einer Ebene ${\displaystyle {}E}$ elementar konstruierbare Gerade ${\displaystyle {}G}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Ideale in einem euklidischen Bereich.
2. Der Satz von Lagrange für die Ordnung eines Elementes.
3. Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.

Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen kommutativen Ring.

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}999999}$.

Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstabelle, in der alle Produkte ${\displaystyle {}i\cdot j}$ mit ${\displaystyle {}1\leq i,j\leq 9}$ stehen.

1. Ist das Produkt über alle Einträge in der Hauptdiagonale (von links oben nach rechts unten) eine Quadratzahl?
2. Ist das Produkt über alle Einträge in der Hauptdiagonale eine Kubikzahl?
3. Ist das Produkt über alle Einträge in der Nebendiagonale (von links unten nach rechts oben) eine Quadratzahl?

Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring ${\displaystyle {}K[X]}$ über einem Körper ${\displaystyle {}K}$.

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome ${\displaystyle {}P=X^{9}-1}$ und ${\displaystyle {}Q=X^{3}-1}$.

Es sei

${\displaystyle {}P=X^{3}+bX^{2}+cX+d\,}$

ein normiertes Polynom über einem Körper ${\displaystyle {}K}$. Es seien ${\displaystyle {}u,v,w}$ drei (verschiedene) Zahlen aus ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass diese drei Zahlen genau dann Nullstellen von ${\displaystyle {}P}$ sind, wenn sie das Gleichungssystem

${\displaystyle {}uvw=-d\,,}$

${\displaystyle {}uv+uw+vw=c\,,}$

${\displaystyle {}u+v+w=-b\,,}$

erfüllen.

Ersetze im Term ${\displaystyle {}3x^{2}+5x+6}$ die Variable ${\displaystyle {}x}$ durch den Term ${\displaystyle {}4y^{2}+2y+3}$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.

Erstelle eine Multiplikationstafel für den Restklassenring ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(5)}$.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring mit ${\displaystyle {}p}$ Elementen, wobei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl sei. Zeige, dass ${\displaystyle {}R}$ ein Körper ist.

Es seien ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$ natürliche Zahlen mit ${\displaystyle {}b}$ positiv. Zeige durch Induktion nach ${\displaystyle {}i}$, dass man die Restfolgenglieder ${\displaystyle {}r_{-i}}$ im Divisionsalgorithmus direkt durch die Division mit Rest

${\displaystyle {}10^{i}a=xb+r_{-i}\,}$

erhalten kann.

Es sei ${\displaystyle {}z={\frac {a}{b}}}$ eine rationale Zahl.

a) Zeige, dass es ein normiertes Polynom ${\displaystyle {}P\in \mathbb {Q} [X]}$ mit

${\displaystyle {}P(z)=0\,}$

gibt.

b) Zeige, dass es ein Polynom ${\displaystyle {}Q\in \mathbb {Q} [X]}$ mit ganzzahligen Koeffizienten und mit

${\displaystyle {}Q(z)=0\,}$

gibt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich und ${\displaystyle {}Q(R)}$ sein Quotientenkörper. Es sei ${\displaystyle {}R\subseteq S\subseteq Q(R)}$ ein Zwischenring. Zeige, dass ${\displaystyle {}Q(R)}$ auch der Quotientenkörper von ${\displaystyle {}S}$ ist.

Skizziere möglichst viele wesentlich verschiedene Konfigurationen von fünf Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in vier Schnittpunkten treffen.

Berechne

${\displaystyle {\left({\frac {2}{5}}-{\frac {3}{7}}{\sqrt {3}}\right)}\cdot {\left({\frac {1}{4}}-{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\right)}.}$

Wir betrachten auf den komplexen Zahlen die Relation, bei der zwei Zahlen ${\displaystyle {}z,w}$ als äquivalent gelten, wenn ihre ${\displaystyle {}17}$-te Potenz übereinstimmt.

1. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
2. Wie viele Elemente beinhalten die Äquivalenzklassen (verwende, dass es ${\displaystyle {}17}$ komplexe Zahlen mit ${\displaystyle {}z^{17}=1}$ gibt)?

Forme die Gleichung

${\displaystyle {}x^{5}+10x^{4}+x-5=0\,}$

in eine äquivalente Gleichung der Form

${\displaystyle {}y^{5}+b_{3}y^{3}+b_{2}y^{2}+b_{1}y+b_{0}=0\,}$

mit ${\displaystyle {}b_{i}\in \mathbb {Q} }$ um.

Beweise den Satz, dass das Minimalpolynom zu einem algebraischen Element ${\displaystyle {}f\in L}$ in einer Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ irreduzibel ist.

Betrachte ein DinA4-Blatt. Ist das Seitenverhältnis aus langer und kurzer Seitenlänge eine konstruierbare Zahl?