Kurs:Elementare Algebra/20/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
2. Ein gemeinsamer Teiler von Elementen ${\displaystyle {}a_{1},\ldots ,a_{k}}$ in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
3. Die Summe der Ideale ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R}$ in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
4. Der Quotientenkörper zu einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
5. Eine Basis eines ${\displaystyle {}K}$- Vektorraums ${\displaystyle {}V}$.
6. Eine konstruierbare Zahl ${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Homomorphiesatz für Gruppen (Satz vom induzierten Homomorphismus).
2. Der Satz von Euler über Einheiten in einem Restklassenring von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$.
3. Der Satz über die Menge der konstruierbaren Zahlen.

Zeige, dass eine zyklische Gruppe kommutativ ist.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ die zyklische Gruppe und ${\displaystyle {}g\in G}$ ein Erzeuger. Dann lassen sich je zwei Elemente ${\displaystyle {}x,y\in G}$ als ${\displaystyle {}x=g^{n}}$ und ${\displaystyle {}y=g^{m}}$ mit ${\displaystyle {}n,m\in \mathbb {Z} }$ darstellen. Somit ist unter Verwendung der Potenzgesetze

${\displaystyle {}xy=g^{n}g^{m}=g^{n+m}=g^{m}g^{n}=yx\,,}$

also ist die Gruppe kommutativ.

Illustriere die dritte binomische Formel durch eine geeignete geometrische Figur.

Zeige, dass für eine komplexe Zahl ${\displaystyle {}z}$ die folgenden Beziehungen gelten.

1. Es ist ${\displaystyle {}{\overline {z}}=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}-\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}{\mathrm {i} }}$.
2. Es ist ${\displaystyle {}\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}}$.
3. Es ist ${\displaystyle {}\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}={\frac {z-{\overline {z}}}{2{\mathrm {i} }}}}$.

Es sei ${\displaystyle {}z=a+b{\mathrm {i} }}$.

1. Ist klar.
2. Es ist

   ${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {z+{\overline {z}}}{2}}&={\frac {a+b{\mathrm {i} }+a-b{\mathrm {i} }}{2}}\\&={\frac {2a}{2}}\\&=a\\&=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}.\end{aligned}}}$

3. Es ist

   ${\displaystyle {}{\frac {z-{\overline {z}}}{2{\mathrm {i} }}}={\frac {a+b{\mathrm {i} }-{\left(a-b{\mathrm {i} }\right)}}{2{\mathrm {i} }}}={\frac {2b{\mathrm {i} }}{2{\mathrm {i} }}}=b=\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaften erfüllt.

1. ${\displaystyle {}\operatorname {grad} \,(P+Q)\leq \max\{\operatorname {grad} \,(P),\,\operatorname {grad} \,(Q)\}\,,}$

2. ${\displaystyle {}\operatorname {grad} \,(P\cdot Q)=\operatorname {grad} \,(P)+\operatorname {grad} \,(Q)\,.}$

Es seien

${\displaystyle {}P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}\,}$

und

${\displaystyle {}Q=b_{m}X^{m}+b_{m-1}X^{m-1}+\cdots +b_{2}X^{2}+b_{1}X+b_{0}\,}$

mit ${\displaystyle {}a_{n},b_{m}\neq 0}$, also ${\displaystyle {}n=\operatorname {grad} \,(P)}$ und ${\displaystyle {}m=\operatorname {grad} \,(Q)}$. Bei ${\displaystyle {}m\neq n}$ ist ${\displaystyle {}\operatorname {max} (m,n)}$ der Grad der Summe, bei ${\displaystyle {}m=n}$ ist bei ${\displaystyle {}a_{n}\neq -b_{n}}$ dies auch der Grad des Summenpolynoms, im andern Fall wird der Grad kleiner (die Summe kann ${\displaystyle {}0}$ sein, dann ist die Aussage als erfüllt zu interpretieren). Wegen Satz . (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist ${\displaystyle {}a_{n}b_{m}\neq 0}$ und somit ist ${\displaystyle {}a_{n}b_{m}X^{n+m}}$ der Leitterm des Produktpolynoms ${\displaystyle {}PQ}$, dessen Grad somit gleich ${\displaystyle {}n+m}$ ist.

Bestimme die kleinste natürliche Zahl, deren letzte Ziffer eine ${\displaystyle {}3}$ ist, die kein Vielfaches der ${\displaystyle {}3}$ ist und die keine Primzahl ist.

Da es keine Primzahl sein soll, muss sie mindestens zwei (eventuell identische) Primfaktoren haben. Die Primfaktoren ${\displaystyle {}2,5}$ sind ausgeschlossen, da die letzte Ziffer ${\displaystyle {}3}$ sein muss, und nach Aufgabenstellung ist auch der Faktor ${\displaystyle {}3}$ ausgeschlossen. Das erste relevante Vielfache von ${\displaystyle {}7}$ ist

${\displaystyle {}7\cdot 19=133\,.}$

Ferner besitzt ${\displaystyle {}11\cdot 11=121}$ keine ${\displaystyle {}3}$ als letzte Ziffer und alle weiteren zusammengesetzen Zahlen ohne ${\displaystyle {}2,3,5,7}$ als Faktor sind größer, also ist ${\displaystyle {}133}$ die Antwort.

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${\displaystyle {}1071}$ und ${\displaystyle {}1029}$.

Der größte gemeinsame Teiler von 1071 und 1029 wird mit dem Euklidischen Algorithmus wie folgt berechnet:

${\displaystyle {}1071=1\cdot 1029+42\,,}$

${\displaystyle {}1029=24\cdot 42+21\,,}$

${\displaystyle {}42=2\cdot 21+0\,.}$

Der größte gemeinsame Teiler von 1071 und 1029 ist somit 21.

Es seien ${\displaystyle {}a,m,n}$ natürliche Zahlen mit ${\displaystyle {}a\geq 1}$.

1. Bestimme ${\displaystyle {}\operatorname {ggT} (a^{m},a^{n})}$.
2. Bestimme ${\displaystyle {}\operatorname {kgV} (a^{m},a^{n})}$.

Es sei

${\displaystyle {}n\geq m\,.}$

Dann ist

${\displaystyle {}a^{n}=a^{m+n-m}=a^{m}\cdot a^{n-m}\,}$

und somit ist ${\displaystyle {}a^{m}}$ ein Teiler von ${\displaystyle {}a^{n}}$. In einem solchen Fall ist der Teiler der größte gemeinsame Teiler und das Vielfache das kleinste gemeinsame Vielfache. Also ist

${\displaystyle {}\operatorname {ggT} (a^{m},a^{n})=a^{m}\,}$

und

${\displaystyle {}\operatorname {kgV} (a^{m},a^{n})=a^{n}\,.}$

Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstabelle, in der alle Produkte ${\displaystyle {}i\cdot j}$ mit ${\displaystyle {}1\leq i,j\leq 9}$ stehen. Bestimme die Primfaktorzerlegung des Produktes über alle Einträge in der Tabelle.

Es sei ${\displaystyle {}n}$ das Produkt aller Zahlen im kleinen Einmaleins. Als Primfaktoren kommen nur ${\displaystyle {}2,3,5,7}$ in Frage. Jede Zahl ${\displaystyle {}i\leq 9}$ wird mit jeder der neun einstelligen Zahl sowohl von links als auch von rechts multipliziert und dadurch tritt die Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}i}$ in der ${\displaystyle {}18}$-ten Potenz auf. Somit ergibt sich

${\displaystyle {}{\begin{aligned}n&=2^{18}\cdot 3^{18}\cdot 4^{18}\cdot 5^{18}\cdot 6^{18}\cdot 7^{18}\cdot 8^{18}\cdot 9^{18}\\&=2^{18}\cdot 3^{18}\cdot 2^{36}\cdot 5^{18}\cdot 2^{18}\cdot 3^{18}\cdot 7^{18}\cdot 2^{54}\cdot 3^{36}\\&=2^{126}\cdot 3^{72}\cdot 5^{18}\cdot 7^{18}.\end{aligned}}}$

Es sei ${\displaystyle {}n}$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass die Zahl

${\displaystyle n(n+1)(n+2)(n+3)}$

durch ${\displaystyle {}8}$ teilbar ist.

Bei ${\displaystyle {}n}$ gerade ist

${\displaystyle {}n=2k\,}$

mit einem ${\displaystyle {}k\in \mathbb {N} }$ und daher

${\displaystyle {}n+2=2k+2=2(k+1)\,.}$

Das angegebene Produkt hat also die Form

${\displaystyle {}n(n+1)(n+2)(n+3)=2\cdot k\cdot 2(k+1)(n+1)(n+3)=4k(k+1)(n+1)(n+3)\,.}$

Bei ${\displaystyle {}k}$ gerade ist ${\displaystyle {}4k}$ durch ${\displaystyle {}8}$ teilbar und damit ist auch das Gesamtprodukt durch ${\displaystyle {}8}$ teilbar, bei ${\displaystyle {}k}$ ungerade ist ${\displaystyle {}k+1}$ gerade und man kann entsprechend schließen.

Bei ${\displaystyle {}n}$ ungerade ist ${\displaystyle {}n+1}$ gerade und daher

${\displaystyle {}n+1=2k\,}$

mit einem ${\displaystyle {}k\in \mathbb {N} }$. In diesem Fall ist

${\displaystyle {}n+3=n+1+2=2k+2=2(k+1)\,}$

und man kann entsprechend schließen.

Bestimme das inverse Element zu ${\displaystyle {}{\overline {55}}}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(93)}$.

Der euklidische Algorithmus liefert

${\displaystyle {}93=1\cdot 55+38\,,}$

${\displaystyle {}55=1\cdot 38+17\,,}$

${\displaystyle {}38=2\cdot 17+4\,,}$

${\displaystyle {}17=4\cdot 4+1\,.}$

Somit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}1&=17-4\cdot 4\\&=17-4\cdot (38-2\cdot 17)\\&=9\cdot 17-4\cdot 38\\&=9\cdot {\left(55-38\right)}-4\cdot 38\\&=9\cdot 55-13\cdot 38\\&=9\cdot 55-13\cdot {\left(93-55\right)}\\&=22\cdot 55-13\cdot 93.\end{aligned}}}$

Daher ist

${\displaystyle 22}$

das inverse Element zu ${\displaystyle {}55}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(93)}$.

Es seien ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}S_{1},\ldots ,S_{n}}$ kommutative Ringe und es seien ${\displaystyle {}\varphi _{i}\colon R\rightarrow S_{i}}$ surjektive Ringhomomorphismen. Es sei

${\displaystyle \varphi =\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}\colon R\longrightarrow S_{1}\times \cdots \times S_{n}}$

der zugehörige Ringhomomorphismus in den Produktring

${\displaystyle {}S=S_{1}\times \cdots \times S_{n}\,.}$

Es sei vorausgesetzt, dass die Elemente der Form ${\displaystyle {}(1,0,\ldots ,0),(0,1,0,\ldots ,0),\ldots ,(0,\ldots ,0,1)}$ zum Bild von ${\displaystyle {}\varphi }$ gehören. Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ surjektiv ist.

Die aufgelisteten Elemente seien mit ${\displaystyle {}e_{1},\ldots ,e_{n}}$ bezeichnet, es seien ${\displaystyle {}g_{1},\ldots ,g_{n}\in R}$ Elemente mit

${\displaystyle {}\varphi (g_{i})=e_{i}\,.}$

Dies bedeutet

${\displaystyle {}\varphi _{j}(g_{i})={\begin{cases}1{\text{ für }}i=j\,,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,}$

Ein beliebiges Element ${\displaystyle {}s\in S}$ im Produktring kann man als ${\displaystyle {}s=(s_{1},\ldots ,s_{n})}$ mit ${\displaystyle {}s_{i}\in S_{i}}$ schreiben. Aufgrund der Surjektivität der einzelen Ringhomomorphismen gibt es Elemente ${\displaystyle {}f_{i}\in R}$ mit

${\displaystyle {}\varphi _{i}(f_{i})=s_{i}\,.}$

Wir behaupten, dass ${\displaystyle {}f_{1}g_{1}+\cdots +f_{n}g_{n}}$ unter ${\displaystyle {}\varphi }$ auf ${\displaystyle {}s}$ abbildet. Dies stimmt, da wir in der ${\displaystyle {}j}$-ten Komponente

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(\varphi {\left(f_{1}g_{1}+\cdots +f_{n}g_{n}\right)}\right)}_{j}&=\varphi _{j}{\left(f_{1}g_{1}+\cdots +f_{n}g_{n}\right)}\\&=\varphi _{j}{\left(f_{1}\right)}\varphi _{j}{\left(g_{1}\right)}+\cdots +\varphi _{j}{\left(f_{n}\right)}\varphi _{j}{\left(g_{n}\right)}\\&=\varphi _{i}(f_{i})\\&=s_{i}\end{aligned}}}$

haben.

1. Gibt es eine Primzahl ${\displaystyle {}x}$ derart, dass auch ${\displaystyle {}x+6}$, ${\displaystyle {}x+12}$, ${\displaystyle {}x+18}$ und ${\displaystyle {}x+24}$ Primzahlen sind?
2. Gibt es mehr als eine Primzahl ${\displaystyle {}x}$ derart, dass auch ${\displaystyle {}x+6}$, ${\displaystyle {}x+12}$, ${\displaystyle {}x+18}$ und ${\displaystyle {}x+24}$ Primzahlen sind?
3. Gibt es mehr als eine Primzahl ${\displaystyle {}x}$ derart, dass auch ${\displaystyle {}x+6}$, ${\displaystyle {}x+12}$ und ${\displaystyle {}x+18}$ Primzahlen sind?

1. Die Zahlen ${\displaystyle {}5,11,17,23,29}$ sind Primzahlen.
2. Wir zeigen, dass es außer dem soeben genannten Beispiel kein weiteres Fünfertupel mit der besagten Eigenschaft gibt. Wir betrachten die Reste von ${\displaystyle {}x,x+6,x+12,x+18,x+24}$ bei Division durch ${\displaystyle {}5}$. Wenn ${\displaystyle {}r}$ der Rest von ${\displaystyle {}x}$ ist, so sind die anderen Reste gleich ${\displaystyle {}r+1,r+2,r+3,r+4}$. Somit muss eine der fünf Zahlen den Rest ${\displaystyle {}0}$ besitzen, also ein Vielfaches von ${\displaystyle {}5}$ sein. Da ${\displaystyle {}x=5}$ ausgeschlossen ist, können nicht alle fünf Zahlen Primzahlen sein.
3. Die Zahlen ${\displaystyle {}41,47,53,59}$ sind Primzahlen, es gibt also weitere Vierertupel mit der besagten Eigenschaft.

Es sei ${\displaystyle {}u\in \mathbb {R} }$ eine irrationale Zahl und sei

${\displaystyle {}G={\left\{a+bu\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq \mathbb {R} \,.}$

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}G}$ eine Untergruppe von ${\displaystyle {}(\mathbb {R} ,0,+)}$ ist.

b) Zeige, dass es kein Element ${\displaystyle {}v\in \mathbb {R} }$ mit

${\displaystyle {}G=\mathbb {Z} v={\left\{cv\mid c\in \mathbb {Z} \right\}}\,}$

gibt.

c) Zeige, dass es in ${\displaystyle {}G}$ kein positives minimales Element gibt.

a) Das Nullelement ergibt sich für ${\displaystyle {}a=b=0}$, wegen

${\displaystyle {}(a+bu)+(c+du)=(a+c)+(b+d)u\,}$

ist ${\displaystyle {}G}$ unter der Addition abgeschlossen und wegen

${\displaystyle {}-(a+bu)=-a-bu\,}$

gehören auch die Negativen dazu.

b) Nehmen wir

${\displaystyle {}G=\mathbb {Z} v\,}$

mit einem ${\displaystyle {}v\in \mathbb {R} }$ an. Dann ist einerseits

${\displaystyle {}v=a_{0}+b_{0}u\,}$

mit gewissen ${\displaystyle {}a_{0},b_{0}\in \mathbb {Z} }$ und andererseits

${\displaystyle {}u=rv=r(a_{0}+b_{0}u)\,}$

mit einem ${\displaystyle {}r\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle {}r\neq 0}$. Daraus folgt

${\displaystyle {}{\left(1-rb_{0}\right)}u=ra_{0}\,}$

Aus der Irrationalität von ${\displaystyle {}u}$ ergibt sich

${\displaystyle {}1-rb_{0}=0=a_{0}\,,}$

also

${\displaystyle {}r=b_{0}=\pm 1\,.}$

Dann ist

${\displaystyle {}v=\pm u\,,}$

also

${\displaystyle {}G=\mathbb {Z} u\,.}$

Dann wäre

${\displaystyle {}1=cu\,}$

mit einem ${\displaystyle {}c\in \mathbb {Z} }$ was wegen der Irrationalität von ${\displaystyle {}u}$ nicht möglich ist.

c) Nehmen wir an, es sei ${\displaystyle {}w>0}$ das minimale positive Element aus ${\displaystyle {}G}$. Wir behaupten, dass dann

${\displaystyle {}G=\mathbb {Z} w\,}$

wäre, was nach Teil (2) nicht sein kann. Es sei also

${\displaystyle {}g=a+bv>0\,}$

positiv (bei ${\displaystyle {}g}$ negativ geht man zum Negativen davon über). Dann ist nach Voraussetzung

${\displaystyle {}g\geq w\,.}$

Wir betrachten ${\displaystyle {}g-w,g-2w,g-3w,\ldots }$ bis wir zu einem ${\displaystyle {}g-kw}$ mit

${\displaystyle {}0\leq g-kw<w\,}$

angelangen. Wegen ${\displaystyle {}g-kw\in G}$ muss

${\displaystyle {}0=g-kw\,}$

sein, also ${\displaystyle {}g\in \mathbb {Z} w}$.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum und es seien ${\displaystyle {}v_{1},v_{2},v_{3}\in V}$ Vektoren. Zeige, dass ${\displaystyle {}v_{1},v_{2},v_{3}}$ genau dann linear unabhängig sind, wenn ${\displaystyle {}v_{1},v_{1}+v_{2},v_{1}+v_{2}+v_{3}}$ linear unabhängig sind.

Es seien ${\displaystyle {}v_{1},v_{2},v_{3}}$ linear unabhängig und sei

${\displaystyle {}b_{1}v_{1}+b_{2}(v_{1}+v_{2})+b_{3}(v_{1}+v_{2}+v_{3})=0\,}$

eine Darstellung der ${\displaystyle {}0}$. Dies bedeutet

${\displaystyle {}(b_{1}+b_{2}+b_{3})v_{1}+(b_{2}+b_{3})v_{2}+b_{3}v_{3}=0\,,}$

woraus wegen der linearen Unabhängigkeit

${\displaystyle {}b_{3},b_{2}+b_{3},b_{1}+b_{2}+b_{3}=0\,,}$

also

${\displaystyle {}b_{1},b_{2},b_{3}=0\,}$

folgt.

Es seien nun umgekehrt ${\displaystyle {}v_{1},v_{1}+v_{2},v_{1}+v_{2}+v_{3}}$ linear unabhängig und sei

${\displaystyle {}a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}=0\,}$

eine Darstellung der ${\displaystyle {}0}$. Dann ist

${\displaystyle {}0=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}=(a_{1}-a_{2})v_{1}+(a_{2}-a_{3})(v_{1}+v_{2})+a_{3}(v_{1}+v_{2}+v_{3})\,.}$

Daraus ergibt sich

${\displaystyle {}a_{3},a_{2}-a_{3},a_{1}-a_{2}=0\,}$

und daraus

${\displaystyle {}a_{1},a_{2},a_{3}=0\,.}$

Berechne

${\displaystyle {\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{2}}+{\frac {1}{5}}{\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}^{2}\right)}\cdot {\left(-{\frac {2}{5}}+7{\sqrt[{3}]{2}}+{\frac {1}{4}}{\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}^{2}\right)}.}$

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{2}}+{\frac {1}{5}}{\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}^{2}\right)}\cdot {\left(-{\frac {2}{5}}+7{\sqrt[{3}]{2}}+{\frac {1}{4}}{\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}^{2}\right)}&={\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{6}}\cdot 2^{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\cdot 2^{\frac {2}{3}}\right)}\cdot {\left(-{\frac {2}{5}}+7\cdot 2^{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\cdot 2^{\frac {2}{3}}\right)}\\&=-{\frac {4}{25}}+{\left({\frac {14}{5}}+{\frac {1}{15}}\right)}\cdot 2^{\frac {1}{3}}+{\left({\frac {1}{10}}-{\frac {7}{6}}-{\frac {2}{25}}\right)}\cdot 2^{\frac {2}{3}}+{\left(-{\frac {1}{24}}+{\frac {7}{5}}\right)}\cdot 2+{\frac {1}{20}}\cdot 2^{\frac {4}{3}}\\&=-{\frac {4}{25}}-{\frac {1}{12}}+{\frac {14}{5}}+{\left({\frac {14}{5}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{10}}\right)}\cdot 2^{\frac {1}{3}}+{\left({\frac {1}{10}}-{\frac {7}{6}}-{\frac {2}{25}}\right)}\cdot 2^{\frac {2}{3}}\\&={\frac {-48-25+840}{300}}+{\frac {84+2+3}{30}}\cdot 2^{\frac {1}{3}}+{\frac {15-175-12}{150}}\cdot 2^{\frac {2}{3}}\\&={\frac {767}{300}}+{\frac {89}{30}}\cdot 2^{\frac {1}{3}}-{\frac {86}{75}}\cdot 2^{\frac {2}{3}}.\,\end{aligned}}}$

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte ${\displaystyle {}(-1,1)}$ und ${\displaystyle {}(4,-2)}$ verläuft.

Der Richtungsvektor der Geraden ist ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}5\\-3\end{pmatrix}}}$. Somit besitzt die Geradengleichung die Form

${\displaystyle {}3x+5y=c\,.}$

Einsetzen eines Punkt ergibt ${\displaystyle {}c=2}$. Somit ist

${\displaystyle {}y={\frac {2-3x}{5}}\,.}$

Dies setzen wir in die Kreisgleichung

${\displaystyle {}x^{2}+y^{2}=1\,}$

ein und erhalten

${\displaystyle {}x^{2}+{\left({\frac {2-3x}{5}}\right)}^{2}=1\,}$

oder

${\displaystyle {}x^{2}+{\frac {4-12x+9x^{2}}{25}}-1={\frac {34}{25}}x^{2}-{\frac {12}{25}}x-{\frac {21}{25}}=0\,.}$

Die Normierung davon ist

${\displaystyle x^{2}-{\frac {6}{17}}x-{\frac {21}{34}}.}$

Somit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {{\frac {6}{17}}\pm {\sqrt {{\left({\frac {6}{17}}\right)}^{2}+4\cdot {\frac {21}{34}}}}}{2}}\\&={\frac {{\frac {6}{17}}\pm {\sqrt {{\left({\frac {6}{17}}\right)}^{2}+{\frac {42}{17}}}}}{2}}\\&={\frac {6\pm {\sqrt {6^{2}+714}}}{34}}\\&={\frac {6\pm {\sqrt {750}}}{34}}\\&={\frac {6\pm 5{\sqrt {30}}}{34}}\end{aligned}}}$

und

${\displaystyle {}{\begin{aligned}y_{1,2}&={\frac {2-3x_{1,2}}{5}}\\&={\frac {2-3{\left({\frac {6\pm 5{\sqrt {30}}}{34}}\right)}}{5}}\\&={\frac {68-3{\left(6\pm 5{\sqrt {30}}\right)}}{170}}\\&={\frac {50\mp 15{\sqrt {30}}}{170}}\\&={\frac {10\mp 3{\sqrt {30}}}{34}}.\end{aligned}}}$

Die Schnittpunkte sind also

${\displaystyle \left({\frac {6+5{\sqrt {30}}}{34}},\,{\frac {10-3{\sqrt {30}}}{34}}\right)\,\,{\text{ und }}\,\,\left({\frac {6-5{\sqrt {30}}}{34}},\,{\frac {10+3{\sqrt {30}}}{34}}\right).}$

Zeige, dass es Geraden gibt, auf denen es keinen konstruierbaren Punkt gibt.

Es sei ${\displaystyle {}c}$ eine reelle nichtkonstruierbare Zahl, beispielsweise ${\displaystyle {}{\sqrt[{3}]{2}}}$ oder ${\displaystyle {}\pi }$. Wir behaupten, dass die durch die Gleichung

${\displaystyle {}x+y=c\,}$

gegebene Gerade ${\displaystyle {}G}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ keine konstruierbaren Punkte enthält. Wäre nämlich ein Punkt ${\displaystyle {}(x,y)\in G}$ konstruierbar, so wären nach Lemma 25.7 (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)) beide Koeffizienten konstruierbar. Doch dann wäre auch

${\displaystyle {}c=x+y\,}$

nach Lemma 25.8 (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)) konstruierbar.