Kurs:Elementare Algebra/21/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Ordnung einer endlichen Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
2. Eine Körpererweiterung.
3. Die Einheitengruppe in einem Ring ${\displaystyle {}R}$.
4. Ein Integritätsbereich.
5. Eine Linearkombination in einem ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
6. Eine Fermatsche Primzahl.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Irreduzibilitätskriterium für Polynome ${\displaystyle {}P\in K[X]}$ von kleinem Grad über einem Körper.
2. Der Isomorphiesatz für Gruppen.
3. Der Satz über den algebraischen Abschluss von ${\displaystyle {}K}$ zu einer Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.

Es sei ${\displaystyle {}S=\{0,1\}}$. Betrachte das Monoid ${\displaystyle {}M}$, das aus allen Abbildungen von ${\displaystyle {}S}$ nach ${\displaystyle {}S}$ besteht mit der Hintereinanderschaltung ${\displaystyle {}\circ }$ von Abbildungen als Verknüpfung.

a) Beschreibe die Elemente in ${\displaystyle {}M}$ und erstelle eine Verknüpfungstabelle für ${\displaystyle {}M}$.

b) Bestimme sämtliche Untermonoide von ${\displaystyle {}M}$ und entscheide jeweils, ob sie kommutativ sind und ob es sich um Gruppen handelt.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine endliche Gruppe. Zeige, dass jedes Element ${\displaystyle {}g\in G}$ eine endliche Ordnung besitzt, und dass die Potenzen

${\displaystyle g^{0}=e_{G},\,g^{1}=g,\,g^{2},\ldots ,g^{\operatorname {ord} \,(g)-1}}$

alle verschieden sind.

Es sei

${\displaystyle {}\varphi (x)=3x^{2}-7x+5\,.}$

Bestimme ${\displaystyle {}\varphi {\left(u^{2}-2v\right)}}$.

Man finde ein Polynom

${\displaystyle {}f=a+bX+cX^{2}\,}$

mit ${\displaystyle {}a,b,c\in \mathbb {R} }$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

${\displaystyle f(-1)=4,\,f(1)=0,\,f(2)=-7.}$

Berechne in

${\displaystyle \mathbb {Z} /(7)[X]/(X^{3}+4X^{2}+X+5)}$

${\displaystyle (2x^{2}+5x+3)\cdot (3x^{2}+x+6)}$

(${\displaystyle {}x}$ bezeichne die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$).

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$. Zeige unter Verwendung der Division mit Rest, dass ${\displaystyle {}K[X]}$ ein Hauptidealbereich ist.

Wir betrachten auf ${\displaystyle {}\mathbb {N} _{+}}$ die Relation ${\displaystyle {}\sim }$, die durch

${\displaystyle {}m\sim n\,}$

festgelegt ist, falls ${\displaystyle {}m}$ eine Potenz von ${\displaystyle {}n}$ und ${\displaystyle {}n}$ eine Potenz von ${\displaystyle {}m}$ teilt.

1. Zeige, dass ${\displaystyle {}\sim }$ eine Äquivalenzrelation ist.
2. Bestimme, welche der folgenden Elemente zueinander äquivalent sind, welche nicht.

   ${\displaystyle 100,\,1000,\,9,\,125,\,500,\,27,\,10,\,210.}$

3. Es sei ${\displaystyle {}Q}$ die Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation und es sei ${\displaystyle {}\mathbb {P} }$ die Menge der Primzahlen mit der Potenzmenge ${\displaystyle {}{\mathfrak {P}}\,({\mathbb {P} })}$. Zeige, dass es eine natürliche Abbildung

   ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,({\mathbb {P} })}$

   gibt, die zu einer injektiven Abbildung

   ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,({\mathbb {P} })}$

   führt. Ist ${\displaystyle {}{\tilde {\varphi }}}$ surjektiv?

4. Wie sieht ein besonders einfaches Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation aus?

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon R\longrightarrow S}$

ein Ideal in ${\displaystyle {}R}$ ist.

Bestimme das inverse Element zu ${\displaystyle {}{\overline {44}}}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(97)}$.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl. Man gebe einen Körper der Charakteristik ${\displaystyle {}p}$ an, der unendlich viele Elemente besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum.

Zu einer Familie von Vektoren ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ in ${\displaystyle {}V}$ heißt bekanntlich

${\displaystyle {}U={\left\{s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}\mid s_{i}\in K\right\}}\,}$

der von diesen Vektoren erzeugte Untervektorraum.

Wäre auch die folgende formal ähnliche Begriffsbildung sinnvoll:

„Zu einer Familie von Skalaren ${\displaystyle {}s_{1},\ldots ,s_{n}}$ in ${\displaystyle {}K}$ heißt

${\displaystyle {}W={\left\{s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}\mid v_{i}\in V\right\}}\,}$

der von diesen Skalaren erzeugte Untervektorraum“?

Bestimme die Dimension des von den Vektoren

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\1\end{pmatrix}}}$

erzeugten Untervektorraumes des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{4}}$.

Beweise den Satz über die Anzahl eines endlichen Körpers.

Wir interessieren uns für zwei Kreise, die sich in genau einem Punkt schneiden. Skizziere wesentlich verschiedene Konfigurationen von zwei Kreisen mit dieser Eigenschaft.

Es sei eine Gerade ${\displaystyle {}G}$ gegeben, auf der zwei Punkte als ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}1}$ ausgezeichnet seien, sodass man diese Gerade mit den reellen Zahlen ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ identifizieren kann. Es seien zwei Zahlen ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$ auf ${\displaystyle {}G}$ gegeben. Beschreibe, wie man die beiden Zahlen durch eine geometrische Konstruktion mit Zirkel und Lineal miteinander multiplizieren kann, sodass das Produkt wieder auf ${\displaystyle {}G}$ liegt (dabei darf die Konstruktion von Parallelen und Senkrechten verwendet werden). Skizziere die Situation.

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden ${\displaystyle {}G}$ und des Kreises ${\displaystyle {}K}$, wobei ${\displaystyle {}G}$ durch die Gleichung ${\displaystyle {}y-3x+1=0}$ und ${\displaystyle {}K}$ durch den Mittelpunkt ${\displaystyle {}(-2,3)}$ und den Radius ${\displaystyle {}4}$ gegeben ist.

Wie kann man anhand einer (schulrelevanten) Situation die Beziehung zwischen Geometrie und Algebra erläutern?