Kurs:Elementare und algebraische Zahlentheorie/14/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Produktring zu kommutativen Ringen ${\displaystyle {}R_{1},\ldots ,R_{n}}$.
2. Ein über einem Körper ${\displaystyle {}K}$ algebraisches Element ${\displaystyle {}f\in A}$ einer ${\displaystyle {}K}$- Algebra ${\displaystyle {}A}$.
3. Ein maximales Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
4. Ein diskreter Bewertungsring.
5. Der Divisor zu einem gebrochenen Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {f}}\neq 0}$ von einem Zahlbereich.
6. Eine binäre quadratische Form.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz von Euler über Primzahlkehrwerte.
2. Der Satz über die Lokalisierung in einem Dedekindbereich.
3. Der Satz über die Klassenzahl von quadratischen Zahlbereichen.

Zeige, dass das Bild eines Ideals unter einem Ringhomomorphismus nicht unbedingt wieder ein Ideal ist.

Finde eine Darstellung der ${\displaystyle {}1}$ für das Zahlenpaar ${\displaystyle {}11}$ und ${\displaystyle {}13}$.

Man gebe zwei Primfaktoren von ${\displaystyle {}2^{35}-1}$ an.

Es sei ${\displaystyle {}n\geq 1}$ eine natürliche Zahl.

1. Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von ${\displaystyle {}(n!)^{2}}$ und ${\displaystyle {}(n-1)!\cdot (n+1)!}$.
2. Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von ${\displaystyle {}(n!)^{2}}$ und ${\displaystyle {}(n-1)!\cdot (n+1)!}$.

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von ${\displaystyle {}116901}$ und ${\displaystyle {}138689}$.

1. Gibt es eine Primzahl ${\displaystyle {}x}$ derart, dass auch ${\displaystyle {}x+10}$ und ${\displaystyle {}x+20}$ Primzahlen sind?
2. Gibt es mehr als eine Primzahl ${\displaystyle {}x}$ derart, dass auch ${\displaystyle {}x+10}$ und ${\displaystyle {}x+20}$ Primzahlen sind?

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl und ${\displaystyle {}x\in {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }}$ eine Einheit. Es sei ${\displaystyle {}a}$ die Ordnung von ${\displaystyle {}x}$ in der additiven Gruppe ${\displaystyle {}(\mathbb {Z} /(p),+,0)}$ und es sei ${\displaystyle {}b}$ die Ordnung von ${\displaystyle {}x}$ in der multiplikativen Gruppe ${\displaystyle {}({\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times },\cdot ,1)}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$ teilerfremd sind.

Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstabelle, in der alle Produkte ${\displaystyle {}i\cdot j}$ mit ${\displaystyle {}1\leq i,j\leq 9}$ stehen.

1. Ist das Produkt über alle Einträge in der Hauptdiagonale (von links oben nach rechts unten) eine Quadratzahl?
2. Ist das Produkt über alle Einträge in der Hauptdiagonale eine Kubikzahl?
3. Ist das Produkt über alle Einträge in der Nebendiagonale (von links unten nach rechts oben) eine Quadratzahl?

Bestätige die Gleichung

${\displaystyle {}(-2+{\mathrm {i} })^{3}+(-2-{\mathrm {i} })^{3}=(1+{\mathrm {i} })^{4}\,.}$

Beweise das Euler-Kriterium für Quadratreste.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich und ${\displaystyle {}R[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass die Einheiten von ${\displaystyle {}R[X]}$ genau die Einheiten von ${\displaystyle {}R}$ sind.

Man gebe ein Polynom ${\displaystyle {}P\in \mathbb {Q} [X]}$ an, das nicht zu ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [X]}$ gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl ${\displaystyle {}n}$ gilt: ${\displaystyle {}P(n)\in \mathbb {Z} }$.

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${\displaystyle {}a,b,c\in {]0,1[}}$ mit

${\displaystyle {}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.}$

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${\displaystyle {}a,b,c\in {]0,1[}}$ mit

${\displaystyle {}a^{2}+b^{2}\neq c^{2}\,.}$

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen ${\displaystyle {}a,b\in {]0,1[}}$ und eine rationale Zahl ${\displaystyle {}c\in {]0,1[}}$ mit

${\displaystyle {}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.}$

1. Finde eine ganzzahlige Lösung ${\displaystyle {}(x,y)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ für die Gleichung

   ${\displaystyle {}x^{2}-y^{3}+2=0\,.}$

2. Zeige, dass

   ${\displaystyle \left({\frac {383}{1000}},\,{\frac {129}{100}}\right)}$

   eine Lösung für die Gleichung

   ${\displaystyle {}x^{2}-y^{3}+2=0\,}$

   ist.

Es sei ${\displaystyle {}n=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}}$ die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl ${\displaystyle {}n}$. Es sei ${\displaystyle {}k}$ eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten ${\displaystyle {}\alpha _{i}}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}k}$ sind. Zeige, dass die reelle Zahl

${\displaystyle n^{\frac {1}{k}}}$

irrational ist.

Beschreibe den Körper mit neun Elementen ${\displaystyle {}\mathbb {F} _{9}}$ als einen Restklassenkörper von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(3)[X]}$. Man gebe eine primitive Einheit in ${\displaystyle {}\mathbb {F} _{9}}$ an.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein quadratischer Zahlbereich und ${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {a}}}$, wobei ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ ein von ${\displaystyle {}0}$ verschiedenes Ideal bezeichnet. Zeige, dass ${\displaystyle {}N(f)}$ ein Vielfaches der Norm von ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ ist.

Beschreibe die wesentlichen Schritte, die zeigen, dass die Divisorenklassengruppe eines quadratischen Zahlbereiches eine endliche Gruppe ist.

Man gebe ein Beispiel für eine binäre quadratische Form ${\displaystyle {}aX^{2}+bXY+cY^{2}}$ mit einer bis auf den Faktor ${\displaystyle {}4}$ quadratfreien Diskriminante, die nicht einfach ist.