Kurs:Elementare und algebraische Zahlentheorie/15/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Einheit ${\displaystyle {}u}$ in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
2. Eine multiplikative zahlentheoretische Funktion.
3. Die Normalisierung eines Integritätsbereiches ${\displaystyle {}R}$.
4. Die Diskriminante eines Zahlbereichs ${\displaystyle {}R}$.
5. Ein gebrochenes Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {f}}}$ zu einem Zahlbereich.
6. Die Darstellbarkeit einer ganzen Zahl ${\displaystyle {}n}$ durch eine binäre quadratische Form.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Anzahl von Quadratresten.
2. Die Abschätzungen von Tschebyschow.
3. Der Satz über die Norm und konjugiertes Ideal in einem quadratischen Zahlbereich.

Bestätige die folgende Identität.

${\displaystyle {}2^{7}+17^{3}=71^{2}\,.}$

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${\displaystyle {}71894}$ und ${\displaystyle {}45327}$.

Es ist ${\displaystyle {}1+2+3=1\cdot 2\cdot 3}$. Gibt es neben der ${\displaystyle {}1}$ weitere natürliche (ganze, reelle, komplexe) Zahlen ${\displaystyle {}x}$, die die Gleichung

${\displaystyle {}x+(x+1)+(x+2)=x\cdot (x+1)\cdot (x+2)\,}$

erfüllen?

Es sei ${\displaystyle {}n}$ eine natürliche Zahl ${\displaystyle {}\geq 2}$. Unter einer Teilerkette von ${\displaystyle {}n}$ verstehen wir eine Folge ${\displaystyle {}n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}}$ von Teilern von ${\displaystyle {}n}$, wobei stets ${\displaystyle {}n_{i}}$ die folgende Zahl ${\displaystyle {}n_{i+1}}$ teilt, aber nicht mit dieser übereinstimmt.

a) Finde eine Teilerkette von ${\displaystyle {}20}$, in der genau vier Zahlen stehen.

b) Charakterisiere, in Abhängigkeit von der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}n}$, wie lange die maximalen Teilerketten sind.

c) Für welche natürliche Zahlen gibt es nur eine Teilerkette maximaler Länge?

d) Wie viele Teilerketten maximaler Länge besitzt ${\displaystyle {}100}$?

Zeige, dass für natürliche Zahlen ${\displaystyle {}a,b,g}$ folgende Aussagen gelten.

1. Für teilerfremde ${\displaystyle {}a,b}$ ist

   ${\displaystyle {}\operatorname {kgV} \,(a,b)=ab\,.}$

2. Es gibt ${\displaystyle {}c,d\in \mathbb {Z} }$ mit

   ${\displaystyle a=c\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b)\,\,{\text{ und }}\,\,b=d\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b),}$

   wobei ${\displaystyle {}c,d}$ teilerfremd sind.

3. Es ist

   ${\displaystyle {}\operatorname {kgV} \,(ga,gb)=g\cdot \operatorname {kgV} \,(a,b)\,.}$

4. Es ist

   ${\displaystyle {}\operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot \operatorname {kgV} \,(a,b)=ab\,.}$

Zeige, dass die Gleichung

${\displaystyle {}{\frac {2}{n}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\,}$

in ${\displaystyle {}\mathbb {N} }$ auch Lösungen ${\displaystyle {}a\neq b}$ besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl und sei ${\displaystyle {}f(x)}$ ein Polynom mit Koeffizienten in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ vom Grad ${\displaystyle {}d\geq p}$. Zeige, dass es ein Polynom ${\displaystyle {}g(x)}$ mit einem Grad ${\displaystyle {}<p}$ derart gibt, dass für alle Elemente ${\displaystyle {}a\in \mathbb {Z} /(p)}$ die Gleichheit

${\displaystyle {}f(a)=g(a)\,}$

gilt.

Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(31)}$?

Wie viele Elemente besitzt ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(31)}$, die weder primitiv noch ein Quadrat sind?

Es sei ${\displaystyle {}x}$ ein primitives Element von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(31)}$. Liste explizit alle Elemente ${\displaystyle {}x^{i}}$ auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.

Es sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$. Zeige, dass das Produkt von ${\displaystyle {}n}$ aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von ${\displaystyle {}n!}$ geteilt wird.

Zeige, dass das Polynom

${\displaystyle {}X^{4}-2\in \mathbb {Z} /(3)[X]\,}$

nicht irreduzibel ist.

a) Zeige, dass durch

${\displaystyle {}K=\mathbb {Z} /(7)[T]/(T^{3}-2)\,}$

ein Körper mit ${\displaystyle {}343}$ Elementen gegeben ist.

b) Berechne in ${\displaystyle {}K}$ das Produkt ${\displaystyle {}(T^{2}+2T+4)(2T^{2}+5)}$.

c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu ${\displaystyle {}T+1}$.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ ein Ideal. Zeige, dass ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ genau dann ein Primideal ist, wenn der Restklassenring ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {p}}}$ ein Integritätsbereich ist.

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich ${\displaystyle {}R=A_{-5}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$ das Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-5}})}$. Zeige direkt, dass das Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$ in der Lokalisierung ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {p}}}$ ein Hauptideal ist.

Zeige, dass es in einem quadratischen Zahlbereich ${\displaystyle {}R}$ nur endlich viele Ideale ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ gibt, deren Norm unterhalb einer gewissen Zahl liegt.

Es sei ${\displaystyle {}R=A_{-29}}$ der quadratische Zahlbereich zu ${\displaystyle {}D=-29}$. Bestimme die Klassengruppe von ${\displaystyle {}R}$.