Kurs:Elementare und algebraische Zahlentheorie/7/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein irreduzibles Element ${\displaystyle {}p}$ in einen kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
2. Ein Hauptideal in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
3. Die erste Tschebyschow-Funktion.
4. Eine algebraische Zahl ${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$.
5. Ein ganzes Element ${\displaystyle {}x\in S}$ bei einer Ringerweiterung ${\displaystyle {}R\subseteq S}$.
6. Das gebrochene Ideal zu einem Divisor ${\displaystyle {}D}$ in einem Zahlbereich ${\displaystyle {}R}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das quadratische Reziprozitätsgesetz für ungerade Primzahlen.
2. Der Satz über das Transformationsverhalten der Diskriminante zu einer Basis in einer endlichen Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.
3. Der Satz über die Korrespondenz von Idealen und Divisoren für Zahlbereiche.

Man gebe ein Beispiel für eine natürliche Zahl, die man als Summe von vier Quadraten darstellen kann, aber nicht als Summe von drei Quadraten.

Es seien ${\displaystyle {}a,b}$ positive natürliche Zahlen. Die Summe der Stammbrüche ist dann

${\displaystyle {}{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}={\frac {b+a}{ab}}\,.}$

a) Zeige, dass bei ${\displaystyle {}a,b}$ teilerfremd diese Darstellung gekürzt ist.

b) Zeige, dass im Allgemeinen diese Darstellung nicht gekürzt sein muss.

Es sei ${\displaystyle {}n}$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass die Zahl

${\displaystyle n(n+1)(n+2)(n+3)}$

durch ${\displaystyle {}8}$ teilbar ist.

Ein Metallarbeiter hat zwei Metallstäbe zur Verfügung. Wenn er den kleinen siebenmal hintereinanderlegt, erhält er genau drei Meter. Wenn er den großen achtmal hintereinanderlegt, erhält er genau fünf Meter.

1. Wie kann er allein mit diesen Stäben eine Länge von einem Meter bestimmen?
2. Was ist die kleinste positive Strecke, die er mit den Stäben messen kann?
3. Welche Streckenlängen kann er mit seinen beiden Metallstäben messen?

Bestimme das inverse Element zu ${\displaystyle {}{\overline {8}}}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(17)}$.

a) Bestimme für die Zahlen ${\displaystyle {}3}$, ${\displaystyle {}5}$ und ${\displaystyle {}7}$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

${\displaystyle \mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(7)}$

die Restetupel ${\displaystyle {}(1,0,0),\,(0,1,0)}$ und ${\displaystyle {}(0,0,1)}$ repräsentieren.

b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung ${\displaystyle {}x}$ der simultanen Kongruenzen

${\displaystyle x=2\!\!\mod 3,\,\,\,\,x=4\!\!\mod 5{\text{ und }}x=3\!\!\mod 7.}$

Beweise den Satz, dass für einen endlichen Körper ${\displaystyle {}K}$ das Produkt aller von ${\displaystyle {}0}$ verschiedener Elemente aus ${\displaystyle {}K}$ gleich ${\displaystyle {}-1}$ ist.

Finde eine ungerade natürliche Zahl ${\displaystyle {}n}$ derart, dass ${\displaystyle {}-1}$ kein Quadrat modulo ${\displaystyle {}n}$ ist, dass aber für das Jacobi-Symbol

${\displaystyle {}\left({\frac {-1}{n}}\right)=1\,}$

gilt.

Zeige

${\displaystyle {}U*U=T\,,}$

wobei ${\displaystyle {}T}$ die Teileranzahlfunktion bezeichnet.

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper ${\displaystyle {}K=\mathbb {Q} [{\sqrt {3}}]}$:

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}2+{\sqrt {3}}&-{\sqrt {3}}\\{\frac {1}{2}}&-2-3{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1-{\sqrt {3}}\\4-2{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}\,.}$

Finde die kleinste Zahl ${\displaystyle {}n\geq 100}$ derart, dass zugleich das reguläre ${\displaystyle {}n}$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist und dass ${\displaystyle {}n}$ eine Summe von zwei Quadraten ist.

Es sei

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L=\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]\,}$

eine quadratische Körpererweiterung und es sei

${\displaystyle \varphi \colon L\longrightarrow L}$

eine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$- lineare Abbildung, die die Norm erhält. Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ die Multiplikation mit einem Element aus ${\displaystyle {}L}$ oder aber die Hintereinanderschaltung der Konjugation mit einer solchen Multiplikation ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und seien ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R}$ Ideale mit ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=R}$. Zeige, dass

${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}\,}$

gilt.

Zeige, dass zu einem Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\neq 0}$ in einem Zahlbereich ${\displaystyle {}R}$ der Restklassenring ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {a}}}$ endlich ist.

Zeige, dass ein diskreter Bewertungsring mit der Ordnungsfunktion ein euklidischer Bereich ist.

Bestimme den Hauptdivisor zu ${\displaystyle {}2}$ im quadratischen Zahlbereich ${\displaystyle {}A_{11}}$.

Beweise den Satz über die Charakterisierung der Faktorialität eines Zahlbereiches mit Hilfe der Divisorenklassengruppe.