Kurs:Elementare und algebraische Zahlentheorie/8/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Exponent zu einer endlichen Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
2. Eine Fermatsche Primzahl.
3. Eine ${\displaystyle {}R}$-Algebra ${\displaystyle {}A}$, wobei ${\displaystyle {}R}$ einen kommutativen Ring bezeichnet.
4. Die Diskriminante zu Elementen ${\displaystyle {}b_{1},\ldots ,b_{n}\in L}$ bei einer endlichen Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ vom Grad ${\displaystyle {}n}$.
5. Ein Dedekindbereich.
6. Ein effektiver Divisor in einem Zahlbereich ${\displaystyle {}R}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Quadratcharakterisierung von ${\displaystyle {}-1}$ für Restklassenkörper von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$.
2. Der Satz von Dirichlet über die Verteilung von Primzahlen.
3. Der Satz über die Irrationalität von Wurzeln aus natürlichen Zahlen.

Zu einer natürlichen Zahl ${\displaystyle {}n}$ bezeichne ${\displaystyle {}r(n)}$ die Anzahl der Möglichkeiten, sie als Summe von zwei Quadratzahlen darzustellen, d.h. ${\displaystyle {}r(n)}$ ist die Anzahl der ${\displaystyle {}2}$-Tupel

${\displaystyle (x_{1},x_{2})\in \mathbb {Z} ^{2}{\text{ mit }}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=n.}$

Beweise die Beziehung

${\displaystyle {}r(2n)=r(n)\,.}$

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}831600}$.

Man bestimme den größten gemeinsamen Teiler von ${\displaystyle {}3146}$ und ${\displaystyle {}1515}$ und man gebe eine Darstellung des ${\displaystyle {}\operatorname {ggT} }$ von ${\displaystyle {}3146}$ und ${\displaystyle {}1515}$ mittels dieser Zahlen an.

Es sei ${\displaystyle {}n\geq 2}$. Woran erkennt man am Kleinen Einmaleins im ${\displaystyle {}n}$-System (ohne die Nuller- und die Zehnerreihe), ob ${\displaystyle {}n}$ eine Primzahl ist.

Beweise das Lemma von Bezout für teilerfremde natürliche Zahlen ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$ durch Induktion über das Maximum von ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$.

Bestimme eine primitive Einheit ${\displaystyle {}v\in \mathbb {Z} /(5)}$ und ein Urbild ${\displaystyle {}u\in \mathbb {Z} /(25)}$ von ${\displaystyle {}v}$, das in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(25)}$ nicht primitiv ist.

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

${\displaystyle \left({\frac {2333}{3673}}\right).}$

Es sei ${\displaystyle {}(x,y,z)}$ ein pythagoreisches Tripel mit ${\displaystyle {}y}$ gerade und mit ${\displaystyle {}z\neq -x}$. Zeige, dass es eindeutig bestimmte ganze teilerfremde Zahlen ${\displaystyle {}(u,v)}$ gibt mit ${\displaystyle {}v>0}$ und ${\displaystyle {}a\in \mathbb {Z} }$ und mit

${\displaystyle x=a(v^{2}-u^{2}),\,y=a(2uv),\,z=a(u^{2}+v^{2}).}$

Es seien ${\displaystyle {}I}$ und ${\displaystyle {}J}$ Ideale in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$ und sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$. Zeige die Gleichheit

${\displaystyle {}(I+J)^{n}=I^{n}+I^{n-1}J+I^{n-2}J^{2}+\cdots +I^{2}J^{n-2}+IJ^{n-1}+J^{n}\,.}$

a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms ${\displaystyle {}F=X^{3}+X+2}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(5)[X]}$.

b) Zeige, dass durch

${\displaystyle {}K=\mathbb {Z} /(5)[T]/(T^{2}-2)\,}$

ein Körper mit ${\displaystyle {}25}$ Elementen gegeben ist.

c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}F=X^{3}+X+2}$ über ${\displaystyle {}K=\mathbb {Z} /(5)[T]/(T^{2}-2)}$.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich und ${\displaystyle {}Q(R)}$ sein Quotientenkörper. Es sei ${\displaystyle {}R\subseteq S\subseteq Q(R)}$ ein Zwischenring. Zeige, dass ${\displaystyle {}Q(R)}$ auch der Quotientenkörper von ${\displaystyle {}S}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein faktorieller Zahlbereich. Zeige, dass dann ${\displaystyle {}R}$ ein Hauptidealbereich ist. Dabei dürfen grundlegende Sätze über Zahlbereiche verwendet werden.

Es sei ${\displaystyle {}A_{-10}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-10}}]\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+10)}$ der quadratische Zahlbereich zu ${\displaystyle {}D=-10}$. Berechne den Hauptdivisor zu

${\displaystyle {}q={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{5}}{\sqrt {-10}}\,.}$