Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 19

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und es seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ Vektorräume über ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass auch das Produkt

${\displaystyle V\times W}$

ein ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum. Es seien ${\displaystyle {}s_{1},\ldots ,s_{k}\in K}$ und ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V}$. Zeige

${\displaystyle {}{\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)}=\sum _{1\leq i\leq k,\,1\leq j\leq n}s_{i}\cdot v_{j}\,.}$

Man mache sich klar, dass sich die Addition und die skalare Multiplikation auf einen Untervektorraum einschränken lässt und dass dieser mit den von ${\displaystyle {}V}$ geerbten Strukturen selbst ein Vektorraum ist.

Zeige, dass ein Körper ${\displaystyle {}K}$, aufgefasst als Vektorraum, nur zwei Untervektorräume besitzt, nämlich den Nullraum ${\displaystyle {}0}$ und sich selbst.

Bestimme, ob die folgenden Teilmengen ${\displaystyle {}T=\mathbb {Q} ^{2}}$ Untervektorräume sind.

1. ${\displaystyle {}\{0\}}$,
2. ${\displaystyle {}\mathbb {Q} _{\geq 0}\times \mathbb {Q} _{\geq 0}}$,
3. Der Graph der linearen Funktion ${\displaystyle {}y=7x}$,
4. Das Quadrat ${\displaystyle {}[0,1]\times [0,1]}$,
5. ${\displaystyle {}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$,
6. Die Vereinigung aus der ${\displaystyle {}x}$-Achse und der ${\displaystyle {}y}$-Achse (das Achsenkreuz),
7. ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \times 0}$,
8. Die Lösungsmenge zur linearen Gleichung ${\displaystyle {}4x-9y=11}$.

Überprüfe, ob die folgenden Teilmengen des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ Untervektorräume sind:

1. ${\displaystyle {}V_{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x+2y=0\right\}}}$,
2. ${\displaystyle {}V_{2}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\geq y\right\}}}$,
3. ${\displaystyle {}V_{3}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=x+1\right\}}}$,
4. ${\displaystyle {}V_{4}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid xy=0\right\}}}$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem über ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ${\displaystyle {}K^{n}}$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum. Es seien ${\displaystyle {}U,W\subseteq V}$ Untervektorräume. Zeige, dass die Vereinigung ${\displaystyle {}U\cup W}$ nur dann ein Untervektorraum ist, wenn ${\displaystyle {}U\subseteq W}$ oder ${\displaystyle {}W\subseteq U}$ gilt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}I}$ eine Indexmenge. Zeige, dass

${\displaystyle {}K^{I}:=\operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}\,}$

mit stellenweiser Addition und skalarer Multiplikation ein ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, und seien ${\displaystyle {}J\subseteq I}$ zwei Indexmengen. Zeige, dass dann ${\displaystyle {}K^{J}=\operatorname {Abb} \,{\left(J,K\right)}}$ in natürlicher Weise ein Untervektorraum von ${\displaystyle {}K^{I}}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum. Zeige, dass die Relation auf ${\displaystyle {}V}$, die durch

${\displaystyle v\sim w,{\text{ falls es ein }}\lambda \in K,\lambda \neq 0,{\text{ mit }}v=\lambda w{\text{ gibt }}}$

eine Äquivalenzrelation ist. Was sind die Äquivalenzklassen?

Drücke in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} ^{2}}$ den Vektor

${\displaystyle (2,-7)}$

als Linearkombination der Vektoren

${\displaystyle (5,-3){\text{ und }}(-11,4)}$

aus.

Drücke in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }^{2}}$ den Vektor

${\displaystyle (1,0)}$

als Linearkombination der Vektoren

${\displaystyle (3+5{\mathrm {i} },-3+2{\mathrm {i} }){\text{ und }}(1-6{\mathrm {i} },4-{\mathrm {i} })}$

aus.

Drücke in ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$ den Vektor

${\displaystyle (1,0,0)}$

als Linearkombination der Vektoren

${\displaystyle (1,-2,5),(4,0,3){\text{ und }}(2,1,1)}$

aus.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum. Es sei ${\displaystyle {}v_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$, eine Familie von Vektoren in ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}w\in V}$ ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie

${\displaystyle w,v_{i},i\in I,}$

ein Erzeugendensystem von ${\displaystyle {}V}$ ist und dass sich ${\displaystyle {}w}$ als Linearkombination der ${\displaystyle {}v_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$, darstellen lässt. Zeige, dass dann schon ${\displaystyle {}v_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$, ein Erzeugendensystem von ${\displaystyle {}V}$ ist.

Wir betrachten im ${\displaystyle {}\mathbb {Q} ^{3}}$ die Untervektorräume

${\displaystyle {}U=\langle {\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\-2\\7\end{pmatrix}}\rangle \,}$

und

${\displaystyle {}W=\langle {\begin{pmatrix}5\\-1\\11\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-3\\3\end{pmatrix}}\rangle \,.}$

Zeige ${\displaystyle {}U=W}$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum. Beweise folgende Aussagen.

1. Sei ${\displaystyle {}U_{j}}$, ${\displaystyle {}j\in J}$, eine Familie von Untervektorräumen von ${\displaystyle {}V}$. Dann ist auch der Durchschnitt

   ${\displaystyle {}U=\bigcap _{j\in J}U_{j}\,}$

   ein Untervektorraum.

2. Zu einer Familie ${\displaystyle {}v_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$, von Elementen in ${\displaystyle {}V}$ ist der erzeugte Unterraum ein Unterraum.
3. Die Familie ${\displaystyle {}v_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$, ist genau dann ein Erzeugendensystem von ${\displaystyle {}V}$, wenn

   ${\displaystyle {}\langle v_{i},\,i\in I\rangle =V\,}$

   ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften gelten (dabei sei ${\displaystyle {}s\in K}$ und ${\displaystyle {}v\in V}$).

1. Es ist ${\displaystyle {}0v=0}$.
2. Es ist ${\displaystyle {}s0=0}$.
3. Es ist ${\displaystyle {}(-1)v=-v}$.
4. Aus ${\displaystyle {}s\neq 0}$ und ${\displaystyle {}v\neq 0}$ folgt ${\displaystyle {}sv\neq 0}$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum und ${\displaystyle {}M}$ eine Menge mit einer Verknüpfung

${\displaystyle +\colon M\times M\longrightarrow M}$

und einer Abbildung

${\displaystyle \cdot \colon K\times M\longrightarrow M.}$

Es sei

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow M}$

eine surjektive Abbildung mit

${\displaystyle \varphi (x+y)=\varphi (x)+\varphi (y)\,\,{\text{ und }}\,\,\varphi (sx)=s\varphi (x)}$

für alle ${\displaystyle {}x,y\in V}$ und ${\displaystyle {}s\in K}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}M}$ ein ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum ist.

Man gebe ein Beispiel für einen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ und von drei Teilmengen in ${\displaystyle {}V}$ an, die jeweils zwei der Untervektorraumaxiome erfüllen, aber nicht das dritte.

Drücke in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} ^{3}}$ den Vektor

${\displaystyle (2,5,-3)}$

als Linearkombination der Vektoren

${\displaystyle (1,2,3),(0,1,1){\text{ und }}(-1,2,4)}$

aus. Zeige, dass man ihn nicht als Linearkombination von zweien der drei Vektoren ausdrücken kann.

Wir betrachten im ${\displaystyle {}\mathbb {Q} ^{4}}$ die Untervektorräume

${\displaystyle {}U=\langle {\begin{pmatrix}3\\1\\-5\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\-2\\4\\-3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\3\\2\end{pmatrix}}\rangle \,}$

und

${\displaystyle {}W=\langle {\begin{pmatrix}6\\-1\\2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-2\\-2\\-7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}9\\2\\-1\\10\end{pmatrix}}\rangle \,.}$

Zeige ${\displaystyle {}U=W}$.