Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 20

Zeige, dass die drei Vektoren

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\1\\2\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\3\\0\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\7\\0\\-1\end{pmatrix}}}$

im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{4}}$ linear unabhängig sind.

Entscheide, ob die folgenden Vektoren linear unabhängig sind.

a) ${\displaystyle {}(-1,1,-1)}$, ${\displaystyle {}(0,6,4)}$, ${\displaystyle {}(1,2,3)}$, im ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$-Vektorraum ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$.

b) ${\displaystyle {}1+{\mathrm {i} }}$, ${\displaystyle {}1+2{\mathrm {i} }}$ im ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$- Vektorraum ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$.

c) ${\displaystyle {}1+{\mathrm {i} }}$, ${\displaystyle {}1+2{\mathrm {i} }}$ im ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$- Vektorraum ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$.

d) ${\displaystyle {}1}$, ${\displaystyle {}{\sqrt {3}}}$ im ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$- Vektorraum ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$.

Man gebe im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$ drei Vektoren an, sodass je zwei von ihnen linear unabhängig sind, aber alle drei zusammen linear abhängig.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum und es seien ${\displaystyle {}v_{1},v_{2},v_{3}\in V}$ Vektoren. Zeige, dass ${\displaystyle {}v_{1},v_{2},v_{3}}$ genau dann linear unabhängig sind, wenn ${\displaystyle {}v_{1},v_{1}+v_{2},v_{1}+v_{2}+v_{3}}$ linear unabhängig sind.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum und ${\displaystyle {}v_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$, eine Familie von Vektoren in ${\displaystyle {}V}$. Beweise die folgenden Aussagen.

1. Wenn die Familie linear unabhängig ist, so ist auch zu jeder Teilmenge ${\displaystyle {}J\subseteq I}$ die Familie ${\displaystyle {}v_{i}}$ , ${\displaystyle {}i\in J}$, linear unabhängig.
2. Die leere Familie ist linear unabhängig.
3. Wenn die Familie den Nullvektor enthält, so ist sie nicht linear unabhängig.
4. Wenn in der Familie ein Vektor mehrfach vorkommt, so ist sie nicht linear unabhängig.
5. Ein Vektor ${\displaystyle {}v}$ ist genau dann linear unabhängig, wenn ${\displaystyle {}v\neq 0}$ ist.
6. Zwei Vektoren ${\displaystyle {}v}$ und ${\displaystyle {}u}$ sind genau dann linear unabhängig, wenn weder ${\displaystyle {}u}$ ein skalares Vielfaches von ${\displaystyle {}v}$ ist noch umgekehrt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum und ${\displaystyle {}v_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$, eine Familie von Vektoren in ${\displaystyle {}V}$. Es sei ${\displaystyle {}\lambda _{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$, eine Familie von Elementen ${\displaystyle {}\neq 0}$ aus ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass die Familie ${\displaystyle {}v_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$, genau dann linear unabhängig (ein Erzeugendensystem von ${\displaystyle {}V}$, eine Basis von ${\displaystyle {}V}$) ist, wenn dies für die Familie ${\displaystyle {}\lambda _{i}v_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$, gilt.

Sind die reellen Zahlen ${\displaystyle {}1,\,{\sqrt {2}},\,{\sqrt {3}}}$ linear unabhängig über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$?

Betrachte die reellen Zahlen ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ als ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$- Vektorraum. Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen ${\displaystyle {}\ln p}$, wobei ${\displaystyle {}p}$ durch die Menge der Primzahlen läuft, linear unabhängig ist. Tipp: Verwende, dass jede positive natürliche Zahl eine eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen besitzt.

Bestimme verschiedene Basen für den Lösungsraum der linearen Gleichung

${\displaystyle {}4x-5y+8z=0\,.}$

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum der linearen Gleichung

${\displaystyle {}3x+4y-2z+5w=0\,.}$

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems

${\displaystyle -2x+3y-z+4w=0{\text{ und }}3z-2w=0.}$

Zeige, dass im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$ die drei Vektoren

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}1\\3\\7\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}4\\1\\2\end{pmatrix}}}$

eine Basis bilden.

Bestimme, ob im ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }^{2}}$ die beiden Vektoren

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2+7{\mathrm {i} }\\3-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}15+26{\mathrm {i} }\\13-7{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}}$

eine Basis bilden.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Man finde ein lineares Gleichungssystem in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau

${\displaystyle {\left\{\lambda {\begin{pmatrix}3\\2\\-5\end{pmatrix}}\mid \lambda \in K\right\}}}$

ist.

Zeige, dass die Matrizen

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}7&10\\15&22\end{pmatrix}}}$

linear abhängig sind.

Bestimme, ob im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$ die drei Vektoren

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2\\3\\-5\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}9\\2\\6\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\end{pmatrix}}}$

eine Basis bilden.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, und sei ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ eine Basis von ${\displaystyle {}V}$. Zeige, dass die Vektorenfamilie

${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}{\text{ und }}{\mathrm {i} }v_{1},\ldots ,{\mathrm {i} }v_{n}}$

eine Basis von ${\displaystyle {}V}$, aufgefasst als reeller Vektorraum, ist.

Bestimme, ob im ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }^{2}}$ die beiden Vektoren

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2-7{\mathrm {i} }\\-3+2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}5+6{\mathrm {i} }\\3-17{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}}$

eine Basis bilden.

Es sei ${\displaystyle {}\mathbb {Q} ^{n}}$ der ${\displaystyle {}n}$- dimensionale Standardraum über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ und sei ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {Q} ^{n}}$ eine Familie von ${\displaystyle {}n}$ Vektoren. Zeige, dass diese Familie genau dann eine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$- Basis des ${\displaystyle {}\mathbb {Q} ^{n}}$ ist, wenn diese Familie aufgefasst im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ eine ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$-Basis des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ bildet.