Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 20/latex

Zeige, dass die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2\\1 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0\\2 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 0\\ -1 \end{pmatrix}} { }
im $\R^4$ \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind.

Entscheide, ob die folgenden Vektoren \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind. \aufzaehlungvierabc{ $(-1,1,-1)$, $(0,6,4)$, $(1,2,3)$, im $\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $\R^3$. }{ $1+ { \mathrm i}$, $1+2{ \mathrm i}$ im $\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} ${\mathbb C}$. }{ $1+{ \mathrm i}$, $1+2{ \mathrm i}$ im ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} ${\mathbb C}$. }{ $1$, $\sqrt{3}$ im $\Q$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $\R$. }

Man gebe im $\R^3$ drei Vektoren an, sodass je zwei von ihnen \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind, aber alle drei zusammen linear abhängig.

Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1,v_2,v_3 }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Vektoren. Zeige, dass
\mathl{v_1,v_2,v_3}{} genau dann \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind, wenn
\mathl{v_1,v_1+v_2,v_1+v_2+v_3}{} linear unabhängig sind.

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mathbed {v_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Familie von Vektoren in $V$. Beweise die folgenden Aussagen. \aufzaehlungsechs{Wenn die Familie \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} ist, so ist auch zu jeder Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ J }
{ \subseteq }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Familie
\mathbed {v_i} {,}
{i \in J} {}
{} {} {} {,} linear unabhängig. }{Die leere Familie ist linear unabhängig. }{Wenn die Familie den Nullvektor enthält, so ist sie nicht linear unabhängig. }{Wenn in der Familie ein Vektor mehrfach vorkommt, so ist sie nicht linear unabhängig. }{Ein Vektor $v$ ist genau dann linear unabhängig, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{Zwei Vektoren \mathkor {} {v} {und} {u} {} sind genau dann linear unabhängig, wenn weder $u$ ein skalares Vielfaches von $v$ ist noch umgekehrt. }

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mathbed {v_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Familie von Vektoren in $V$. Es sei
\mathbed {\lambda_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Familie von Elementen $\neq 0$ aus $K$. Zeige, dass die Familie
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} genau dann \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} \zusatzklammer {ein \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $V$, eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$} {} {} ist, wenn dies für die Familie
\mathbed {\lambda_i v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} gilt.

Sind die reellen Zahlen $1,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3}$ \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} über $\Q$?

Betrachte die reellen Zahlen $\R$ als $\Q$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen $\ln p$, wobei $p$ durch die Menge der \definitionsverweis {Primzahlen}{}{} läuft, \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} ist. Tipp: Verwende, dass jede positive natürliche Zahl eine eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen besitzt.

Bestimme verschiedene \definitionsverweis {Basen}{}{} für den \definitionsverweis {Lösungsraum}{}{} der linearen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 4x-5y+8z }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

Bestimme eine \definitionsverweis {Basis}{}{} für den \definitionsverweis {Lösungsraum}{}{} der linearen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3x+4y-2z+5w }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

Bestimme eine \definitionsverweis {Basis}{}{} für den \definitionsverweis {Lösungsraum}{}{} des linearen Gleichungssystems
\mathdisp {-2x+3y-z+4w = 0 \text{ und } 3z-2w =0} { . }

Zeige, dass im $\R^3$ die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}} { }
eine \definitionsverweis {Basis}{}{} bilden.

Bestimme, ob im ${\mathbb C}^2$ die beiden Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2+7 { \mathrm i} \\3- { \mathrm i} \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} 15+26 { \mathrm i} \\13-7 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
eine \definitionsverweis {Basis}{}{} bilden.

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Man finde ein \definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{} in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau
\mathdisp {{ \left\{ \lambda \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} \mid \lambda \in K \right\} }} { }
ist.

Zeige, dass die Matrizen
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {linear abhängig}{}{} sind.

Bestimme, ob im $\R^3$ die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 9 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} \, ,\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}} { }
eine \definitionsverweis {Basis}{}{} bilden.

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über den \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{,} und sei $v_1 , \ldots , v_n$ eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$. Zeige, dass die Vektorenfamilie
\mathdisp {v_1 , \ldots , v_n \text{ und } { \mathrm i} v_1 , \ldots , { \mathrm i} v_n} { }
eine Basis von $V$, aufgefasst als reeller Vektorraum, ist.

Bestimme, ob im ${\mathbb C}^2$ die beiden Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2-7 { \mathrm i} \\ -3+2 { \mathrm i} \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} 5+6 { \mathrm i} \\3-17 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
eine \definitionsverweis {Basis}{}{} bilden.

Es sei $\Q^n$ der $n$-\definitionsverweis {dimensionale}{}{} Standardraum über $\Q$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_n }
{ \in }{\Q^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Familie von $n$ Vektoren. Zeige, dass diese Familie genau dann eine $\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{} des $\Q^n$ ist, wenn diese Familie aufgefasst im $\R^n$ eine $\R$-Basis des $\R^n$ bildet.